où
et où
n’est ni
ni
(abstraction faite des signes). Or,
étant le plus petit des deux coefficients
et
qu’on multiplie toute l’équation par ce coefficient
et faisant
![{\displaystyle \upsilon =\mathrm {M} \psi -\mathrm {N} \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4a8164844268af20a05160cdf95e23834789e6)
il est clair qu’elle se changera en celle-ci
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38f9366ae40d35d08c5a6af07d5a82026c596bc)
dans laquelle il faudra maintenant distinguer les deux cas de
positif et de
négatif.
Soit :
1o
négatif et
étant un nombre positif ; l’équation sera donc
![{\displaystyle \upsilon ^{2}+a\xi ^{2}=\mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8272762713cb7cc7328668022a43630d48e485ac)
Or, comme
on aura
d’où l’on voit d’abord que les nombres
et
doivent être de même signe ; d’ailleurs
ne doit être ni
ni
donc
ne sera pas
donc
ou
et, puisque
est supposé moindre que
ou au moins pas plus grand que
on aura à plus forte raison
ou
donc
ou
donc
On voit par là que l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}+a\xi ^{2}=\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83e0f469da2440d3a4f125c828557fd52786193)
ne saurait subsister dans l’hypothèse que
et
soient des nombres entiers, à moins que l’on ne fasse
et
ce qui demande que
soit un nombre carré.
Supposons donc
et l’on aura
donc, par l’équation
![{\displaystyle \upsilon =\mathrm {M} \psi -\mathrm {N} \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4a8164844268af20a05160cdf95e23834789e6)
on aura
![{\displaystyle \mu ^{2}\psi =\pm \mu ,\quad {\text{et par conséquent}}\quad \psi =\pm {\frac {1}{\mu }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c1d7be8e967c64813d07e4ee71512c60635683)