de sorte que
ne saurait être un nombre entier, comme il le doit (hyp.), à moins que
ne soit égal à l’unité, soit
et par conséquent
De là je tire donc cette conséquence, que l’équation proposée ne saurait étre résoluble en nombres entiers, à moins que
ne se trouve égal à l’unité positive. Si cette condition a lieu, alors on fera
et l’on remontera de ces valeurs à celles de
et
Cette méthode revient, pour le fond, au même que celle du no 67, mais elle a sur celle-là l’avantage de n’exiger aucun tâtonnement.
2o Soit maintenant
un nombre positif ; on aura
or, comme
ne peut pas être plus grand que
il est clair que l’équation ne pourra subsister, à moins que
ne soit un nombre positif, c’est-à-dire que
et
ne soient de signes différents. Ainsi
sera nécessairement
ou tout au plus
si
de sorte qu’on aura
ou
et par conséquent
ou
ou
ou
Le cas de
ne peut avoir lieu que lorsque
est un carré ; par conséquent ce cas est très-facile à résoudre par la méthode donnée plus haut (no 69).
Reste donc le cas où
n’est pas carré et dans lequel on aura nécessairement
(abstraction faite du signe de
) ; alors l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52751069c1e1f357d5653d75d4e7c3999e9b33)
sera dans le cas du Théorème du no 38, et se résoudra par conséquent par la méthode que nous y avons indiquée.
Ainsi il n’y aura qu’à faire le calcul suivant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {Q} _{0}&=0,&\mathrm {P} _{0}&=1,&\mu \ \,&<{\sqrt {\mathrm {A} }},\\\mathrm {Q} _{1}&=\mu ,&\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {Q_{1}^{2}-A} ,&\mu _{1}&<\mathrm {\frac {-Q_{1}-{\sqrt {A}}}{P_{1}}} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mu _{1}\mathrm {P_{1}+Q_{1}} ,&\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {\frac {Q_{2}^{2}-A}{P_{1}}} ,&\mu _{2}&<\mathrm {\frac {-Q_{2}+{\sqrt {A}}}{P_{2}}} ,\\\mathrm {Q} _{3}&=\mu _{2}\mathrm {P_{2}+Q_{2}} ,\qquad &\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {\frac {Q_{3}^{2}-A}{P_{2}}} ,\qquad &\mu _{3}&<\mathrm {\frac {-Q_{3}-{\sqrt {A}}}{P_{3}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41755d998fa02b0ae105ed43877c4bd0ba6d156f)