qu’on continuera jusqu’à ce que deux termes correspondants de la première et de la seconde série reparaissent ensemble, ou bien jusqu’à ce que dans la série il se trouve un terme égal à l’unité positive, c’est-à-dire car alors tous les termes suivants reviendront dans le même ordre dans chacune des trois séries (no 37). Si dans la série il se trouve un terme égal à on aura la résolution de l’équation proposée ; car il n’y aura qu’à prendre pour et les termes correspondants des séries calculées d’après les formules du no 25 ; et même on pourra frouver une infinité de valeurs satisfaisantes de et en continuant à l’infini les mêmes séries.
Dès qu’on connaîtra deux valeurs de et on aura, par l’équation
celle de , laquelle sera aussi toujours égale à un nombre entier ; ensuite on pourra remonter de ces valeurs de et c’est-à-dire de et à celles de et ou bien de et de (no 70).
Mais si, dans la série il n’y a aucun terme qui soit on en conclura hardiment que l’équation proposée n’admet aucune solution en nombres entiers.
Il est bon de remarquer que, comme la série ainsi que les deux autres et ne dépend que du nombre le calcul une fois fait pour une valeur donnée de servira pour toutes les équations où c’est-à-dire aura la même valeur et c’est en quoi la méthode précédente est préférable à celle du no 68, qui exige un nouveau calcul pour chaque équation.
Au reste, tant que ne passera pas on pourra faire usage de la Table que nous avons donnée au no 41, laquelle contient pour chaque radical les valeurs des termes des deux séries et continuéesjusqu’à ce que l’un des termes devienne après quoi tous les termes suivants de l’une et de l’autre série reviennent dans le même ordre ; de sorte qu’on pourra juger sur-
