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le-champ, par le moyen de cette Table, de la résolubilité de l’équation

$\upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} .$

De la manière de trouver toutes les solutions possibles de l’équation $\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1,$ lorsqu’on n’en connaît qu’une seule.

72. Quoique, par les méthodes que nous venons de donner, on puisse trouver successivement toutes les solutions de cette équation, lorsqu’elle est résoluble en nombres entiers, cependant on peut parvenir à cet objet d’une manière encore plus simple, que voici :

Qu’on nomme $p$ et $q$ les valeurs trouvées de $y$ et $z,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2}=1,$

et qu’on prenne deux autres nombres entiers $r$ et $s,$ tels que $ps-qr=1$ (ce qui est toujours possible, à cause que $p$ et $q$ sont nécessairement premiers entre eux) ; qu’on suppose ensuite

$y=pt+ru,\quad z=qt+su,$

$t$ et $u$ étant deux nouvelles indéterminées ; substituant ces expressions dans l’équation

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1,$

et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2},\\\mathrm {Q} =&\mathrm {C} pr-n(ps+qr)+\mathrm {B} qs,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C} r^{2}-2nrs+\mathrm {B} s^{2},\end{aligned}}$

on aura cette transformée

$\mathrm {P} t^{2}+2\mathrm {Q} tu+\mathrm {R} u^{2}=1.$

Or on a (hyp.) $\mathrm {P} =1\,;$ de plus, si l’on nomme $\rho$ et $\sigma$ deux valeurs de $r$ et $s$ qui satisfassent à l’équation $ps-qr=1,$ on aura, en général (n^o 42),

$r=\rho +mp,\quad s=\sigma +mq,$