étant un nombre quelconque entier ; donc, mettant ces valeurs dans l’expression de
elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {Q} =\mathrm {C} p\rho -n(p\sigma +q\rho )+\mathrm {B} q\sigma +m\mathrm {P} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f95b0a45138d20ea9f3761e61e8d23ab52f6820)
de sorte que, comme
on pourra rendre
en prenant
![{\displaystyle m=-\mathrm {C} p\rho +n(p\sigma +q\rho )-\mathrm {B} q\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197418cbfa34a5ced393551a00eee122487dfa9c)
Maintenant je remarque que la valeur de
se réduit (après les substitutions et les réductions) à celle-ci
![{\displaystyle (n^{2}-\mathrm {CB} )(ps-qr)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79dbbee882f8f431cf37e849fd5e1f999472c83e)
de sorte que, comme
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q^{2}-PR} =n^{2}-\mathrm {CB=A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f98a31371cf3780159c7a157a5ba5f68f4b37e2)
donc, faisant
et
il viendra
savoir
ainsi l’équation transformée ci-dessus se changera en celle-ci
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e0fab61de4f6a5b86950c0e1bbf79ad9bb348)
or, comme
et
sont, par l’hypothèse, des nombres entiers, il est facile de voir que
et
seront aussi des nombres entiers ; car, en tirant leurs valeurs des équations
![{\displaystyle y=pt+ru,\quad z=qt+su,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b5a3a0a2be510e9a640a5fea0ef6c50e69054c)
on a
![{\displaystyle t={\frac {sy-rz}{ps-qr}},\quad u={\frac {qy-pz}{qr-ps}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0213f5b41a86c3f5dede1e15f69ced6821277fdf)
c’est-à-dire, à cause de ![{\displaystyle ps-qr=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd046d585379c49c841d30b413286d8cf122c78)
![{\displaystyle t=sy-rz,\quad u=pz-qy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd3727919f4522bde9c461e4805db26530f0d1d)
Il n’y aura donc qu’à résoudre en nombres entiers l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4657e834dbd155ccd5ade782f79886b33a70e4)
et chaque valeur de
et de
donnera de nouvelles valeurs de
et ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)