En effet, substituant dans les valeurs générales de
et
la valeur du nombre
trouvée ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&\rho \left(1-\mathrm {C} p^{2}\right)-\mathrm {B} pq\sigma +np(p\sigma +q\rho ),\\r=&\sigma \left(1-\mathrm {B} q^{2}\right)-\mathrm {C} pq\rho +nq(p\sigma +q\rho )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafb8b3c87489614786346f05b87a8811f4c0afd)
ou bien, à cause de ![{\displaystyle \mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46254f17f998198b8d850ea046d993ee3a0dd19)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&(\mathrm {B} q-np)(q\rho -p\sigma )=-\mathrm {B} q+np,\\s=&(\mathrm {C} p-nq)(p\sigma -q\rho )=\ \ \ \mathrm {C} p-nq.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dc8c99554a933dd5d9fca29ba4e34acfe7dd9b)
Donc, mettant ces valeurs de
et
dans les expressions ci-dessus de
et
on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&pt-(\mathrm {B} q-np)u,\\z=&qt+(\mathrm {C} p-nq)u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079cfdec87b8f9fe4f427259d9d0324b3e195bff)
73. Tout se réduit donc à résoudre l’équation
![{\displaystyle t^{2}-Au^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0bb1dd7a1f8ca55d3d5a88556b59b9d8d7df04)
Or :
1o Si
est un nombre négatif, il est visible que cette équation ne saurait subsister en nombres entiers, qu’en faisant
et
ce qui donnerait
et
d’où l’on peut conclure que, dans le cas où
est un nombre négatif, l’équation proposée
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01be98b6515a5f32a16ca1d5819674ccd38c56bd)
ne peut jamais admettre qu’une seule solution en nombres entiers.
Il en serait de même si
était un nombre positif carré ; car, faisant
on aurait
![{\displaystyle (t+au)(t-au)=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82daac4a917835a6f5b9b4d2aa458ad63b9f0164)
donc
![{\displaystyle t+au=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad t-au=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac9b7f7411e404bd542a18c0e70e807f3e22049)
donc
donc
et par conséquent
![{\displaystyle t=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35787d6b12f278e740df25a5d231f5320d2a6461)