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En effet, substituant dans les valeurs générales de $r$ et $s$ la valeur du nombre $m$ trouvée ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}r=&\rho \left(1-\mathrm {C} p^{2}\right)-\mathrm {B} pq\sigma +np(p\sigma +q\rho ),\\r=&\sigma \left(1-\mathrm {B} q^{2}\right)-\mathrm {C} pq\rho +nq(p\sigma +q\rho )\end{aligned}}$

ou bien, à cause de $\mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2}=1,$

${\begin{aligned}r=&(\mathrm {B} q-np)(q\rho -p\sigma )=-\mathrm {B} q+np,\\s=&(\mathrm {C} p-nq)(p\sigma -q\rho )=\ \ \ \mathrm {C} p-nq.\end{aligned}}$

Donc, mettant ces valeurs de $r$ et $s$ dans les expressions ci-dessus de $y$ et $z,$ on aura, en général,

${\begin{aligned}y=&pt-(\mathrm {B} q-np)u,\\z=&qt+(\mathrm {C} p-nq)u.\end{aligned}}$

73. Tout se réduit donc à résoudre l’équation

$t^{2}-Au^{2}=1.$

Or :

1^o Si $\mathrm {A}$ est un nombre négatif, il est visible que cette équation ne saurait subsister en nombres entiers, qu’en faisant $u=0$ et $t=1,$ ce qui donnerait $y=p$ et $z=q\,;$ d’où l’on peut conclure que, dans le cas où $\mathrm {A}$ est un nombre négatif, l’équation proposée

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1$

ne peut jamais admettre qu’une seule solution en nombres entiers.

Il en serait de même si $\mathrm {A}$ était un nombre positif carré ; car, faisant $\mathrm {A} =a^{2},$ on aurait

$(t+au)(t-au)=1\,;$

donc

$t+au=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad t-au=\pm 1\,;$

donc $2au=0\,;$ donc $u=0,$ et par conséquent

$t=\pm 1.$