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2^o Mais, si $\mathrm {A}$ est un nombre positi\int non carré, alors l’équations

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1$

est toujours susceptible d’une infinité de solutions en nombres entiers (n^o 37), qu’on peut trouver toutes par les formules données ci-dessus (n^o 71, 2^o) ; mais il suffira de trouver les plus petites valeurs de $t$ et $u,$ et pour cela, dès que l’on sera parvenu, dans la série $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ à un terme égal à l’unité, il n’y aura qu’à calculer, par les formules du n^o 25, les termes correspondants des deux séries $p_{1},p_{2},p_{3},\ldots$ et $q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ Ce seront les valeurs cherchées de $t$ et $u\,;$ d’où l’on voit que le même calcul qu’on aura fait pour la résolution de l’équation

$\upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M}$

servira aussi pour celle de l’équation

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.$

Au reste, tant que $\mathrm {A}$ ne passe pas $100,$ on a les plus petites valeurs de $t$ et $u$ toutes calculées dans la Table^[1] qui est à la fin du Chapitre VII du Traité précédent, et dans laquelle les nombres $a,m,n$ sont les mêmes que ceux que nous appelons ici $\mathrm {A} ,t$ et $u.$

74. Désignons par $t_{1},u_{1}$ les plus petites valeurs de $t,u$ dans l’équation

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;$

et de même que ces valeurs peuvent servir à trouver de nouvelles va-

1. Voici encore quelques exemples, lorsque $a$ est plus grand que $100$ :
   ${\text{Si }}a=103,{\text{ on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 22419,\\m=&227528\,;\end{aligned}}\right.\quad \ {\text{Si }}a=109,{\text{ on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 15140424455100,\\m=&158070671986249\,;\end{aligned}}\right.$
   ${\text{Si }}a=113,{\text{ on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 113296,\\m=&1204353\,;\end{aligned}}\right.\quad {\text{Si }}a=157,{\text{on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 3726964292220,\\m=&46698728731849\,;\end{aligned}}\right.$

   et si $a=367,$ il viendra

   $n=5763448635,\quad m=110413985786.$