leurs de
et
dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bfddf09a6ea970a77219066bcb112a9f87a3d0)
de même aussi elles pourront servir à trouver de nouvelles valeurs de
et
dans l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4657e834dbd155ccd5ade782f79886b33a70e4)
qui n’est qu’un cas particulier de celle-là. Pour cela, il n’y aura qu’à supposer
et
ce qui donne
et prendre ensuite
à la place de
et
à la place de
Faisant donc ces substitutions dans les expressions générales de
et
du no 72, et mettant de plus
à la place de
on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&\mathrm {T} t_{1}\,+\mathrm {AU} u_{1},\\u=&\mathrm {T} u_{1}+\mathrm {U} t_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f631893770d60532bc64e16ce88fc4ad0753b94)
et pour la détermination de
et
l’équation
![{\displaystyle \mathrm {T^{2}-AU^{2}} =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890a4cc26708047576a03205b30d926791f0c5d3)
qui est semblable à la proposée.
Ainsi on pourra supposer
et
ce qui donnera
![{\displaystyle t=t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2},\quad u=t_{1}u_{1}+t_{1}u_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cadace1cb89f03d8c5abd83af1e2233119ddbfa3)
Nommant donc
les secondes valeurs de
et
on aura
![{\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2},\quad u_{2}=2t_{1}u_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58216d294ef6ebc323735e313bf571c1afee4fe4)
Maintenant il est clair qu’on peut prendre ces nouvelles valeurs
à la place des premières
ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&\mathrm {T} t_{2}\,+\mathrm {AU} u_{2},\\u=&\mathrm {T} u_{2}+\mathrm {U} t_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9959805756b2587bd87dbeb897fcd2e070fa4d61)
où l’on peut supposer de nouveau
ce qui donnera
![{\displaystyle t=t_{1}t_{2}+\mathrm {A} u_{1}u_{2},\quad u=t_{1}u_{2}+u_{1}t_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36117aefa74b72fb9abf0945e60cf4a728f70da8)