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leurs de $y$ et $z$ dans l’équation

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1,$

de même aussi elles pourront servir à trouver de nouvelles valeurs de $t$ et $u$ dans l’équation

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,$

qui n’est qu’un cas particulier de celle-là. Pour cela, il n’y aura qu’à supposer $\mathrm {C} =1$ et $n=0,$ ce qui donne $-\mathrm {B=A} ,$ et prendre ensuite $t,u$ à la place de $y,z,$ et $t_{1},u_{1}$ à la place de $p,q.$ Faisant donc ces substitutions dans les expressions générales de $y$ et $z$ du n^o 72, et mettant de plus $\mathrm {T,U}$ à la place de $t,u,$ on aura, en général,

${\begin{aligned}t=&\mathrm {T} t_{1}\,+\mathrm {AU} u_{1},\\u=&\mathrm {T} u_{1}+\mathrm {U} t_{1},\end{aligned}}$

et pour la détermination de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ l’équation

$\mathrm {T^{2}-AU^{2}} =1,$

qui est semblable à la proposée.

Ainsi on pourra supposer $\mathrm {T} =t_{1}$ et $\mathrm {U} =u_{1},$ ce qui donnera

$t=t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2},\quad u=t_{1}u_{1}+t_{1}u_{1}.$

Nommant donc $t_{2},u_{2}$ les secondes valeurs de $t$ et $u,$ on aura

$t_{2}=t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2},\quad u_{2}=2t_{1}u_{1}.$

Maintenant il est clair qu’on peut prendre ces nouvelles valeurs $t_{2},u_{2}$ à la place des premières $t_{1},u_{1}\,;$ ainsi l’on aura

${\begin{aligned}t=&\mathrm {T} t_{2}\,+\mathrm {AU} u_{2},\\u=&\mathrm {T} u_{2}+\mathrm {U} t_{2},\end{aligned}}$

où l’on peut supposer de nouveau $\mathrm {T} =t_{1},\ \mathrm {U} =u_{1},$ ce qui donnera

$t=t_{1}t_{2}+\mathrm {A} u_{1}u_{2},\quad u=t_{1}u_{2}+u_{1}t_{2}.$