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Ainsi on aura de nouvelles valeurs de $t$ et $u,$ lesquelles seront

${\begin{aligned}t_{3}=&t_{1}t_{2}+\mathrm {A} u_{1}u_{2}=t_{1}\left(t_{1}^{2}+3\mathrm {A} u_{1}^{2}\right),\\u_{3}=&t_{1}u_{2}+u_{1}t_{2}=u_{1}\left(3t_{1}^{2}+\mathrm {A} u_{1}^{2}\right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

75. La méthode précédente ne fait trouver que successivement les valeurs $t_{2},t_{2},\ldots \,;$ $u_{2},u_{3},\ldots .$ Voyons maintenant comment on peut généraliser cette recherche. On a d’abord

$t=\mathrm {T} t_{1}+\mathrm {AU} u_{1},\quad u=\mathrm {T} u_{1}+\mathrm {U} t_{1},$

d’où je tire cette combinaison

$t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} \,;$

donc, supposant $\mathrm {T} =t_{1}$ et $\mathrm {U} =u_{1},$ on aura

$t_{2}\pm u_{2}{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{2}.$

Qu’on mette à présent ces valeurs de $t_{2}$ et $u_{2}$ à la place de celles de $t_{1}$ et $u_{1}$ on aura

$t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{2}\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ,$

où, faisant de nouveau $\mathrm {T} =t_{1},$ et $\mathrm {U} =u_{1},$ et nommant $t_{3},u_{3}$ les valeurs résultantes de $t$ et $u,$ il viendra

$t_{3}\pm u_{3}{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{3}.$

On trouvera de même

$t_{4}\pm u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t_{1}\pm u_{1}{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)^{4},$

et ainsi de suite.

Donc si, pour plus de simplicité, on nomme maintenant $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ les premières et plus petites valeurs de $t,u,$ que nous avons nommées ci-dessus $t_{1},u_{1},$ on aura, en général,

$t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}=\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m},$