étant un nombre quelconque entier positif ; d’où l’on tire, à cause de l’ambiguïté des signes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}+\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}}{2}},\\u=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}-\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}}{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84921db6222a2bcde92df263d8ce4490d06aa960)
Quoique ces expressions paraissent sous une forme irrationnelle, cependant il est aisé de voir qu’elles deviendront rationnelles, en développant les puissances de
car on a, comme l’on sait,
![{\displaystyle \mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m}=\mathrm {T} ^{m}\pm m\mathrm {T} ^{m-1}\mathrm {U} {\sqrt {\mathrm {A} }}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {T} ^{m-2}\mathrm {U} ^{2}{\sqrt {\mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8324795c7cc96fd2ca42b7213464d7eed0a3527d)
![{\displaystyle \pm {\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {T} ^{m-3}\mathrm {U} ^{3}\mathrm {A} {\sqrt {\mathrm {A} }}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36704ea0b5b50e627a7041a8950de0707f761b9a)
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&\mathrm {T} ^{m}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {AT} ^{m-2}\mathrm {U} ^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}\mathrm {A^{2}T} ^{m-4}\mathrm {U} ^{4}+\ldots ,\\u=&m\mathrm {T} ^{m-1}\mathrm {U} +{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {AT} ^{m-3}\mathrm {U} ^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d54556b3a2a3868c207b40ab0d6959748bc1f8d)
![{\displaystyle +{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{2.3.4.5}}\mathrm {A^{2}T} ^{m-5}\mathrm {U} ^{5}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cb79a216ef0f919826e3266944a7f1f7f8ae07)
où l’on pourra prendre pour
des nombres quelconques entiers positifs.
Il est clair qu’en faisant successivement
on aura des valeurs de
et
qui iront en augmentant.
Or je vais prouver que l’on aura de cette manière toutes les valeurs possibles de
et
pourvu que
et
en soient les plus petites. Pour cela il suffit de prouver qu’entre les valeurs de
et
qui répondent à un nombre quelconque
et celles qui répondraient au nombre suivant
il est impossible qu’il se trouve des valeurs intermédiaires qui puissent satisfaire à l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a14014161ef9369d287311b7b619478f232643d)
Prenons, par exemple, les valeurs
qui résultent de la supposition de
et les valeurs
qui résultent de la supposition
et soient, s’il est possible, d’autres valeurs intermédiaires
et