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qui satisfassent aussi à l’équation

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.$

Puisque l’on a

$t_{3}^{2}-\mathrm {A} u_{3}^{2}=1,\quad t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}=1,\quad \theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}=1,$

on aura

$\theta ^{2}-t_{3}^{2}=\mathrm {A} \left(\upsilon ^{2}-u_{3}^{2}\right),\quad {\text{et}}\quad t_{4}^{2}-\theta ^{2}=\mathrm {A} \left(u_{4}^{2}-\upsilon ^{2}\right)\,;$

d’où l’on voit que, si $\theta >t_{3}$ et $<t_{4},$ on aura aussi $\upsilon >u_{3}$ et $<u_{4}.$ De plus, on aura aussi ces autres valeurs de $t$ et $u,$ savoir

$t=\theta _{4}t-\mathrm {A} \upsilon u_{4},\quad u=\theta u_{4}-\upsilon t_{4},$

qui satisferont à la même équation

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;$

car, en les y substituant, on aurait

$(\theta t_{4}-\mathrm {A} \upsilon u_{4})^{2}-\mathrm {A} (\upsilon t_{4}-\theta u_{4})^{2}=\left(\theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}\right)\left(t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}\right)=1,$

équation identique à cause de (hyp.)

$\theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}=1,\quad t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}=1.$

Or ces deux dernières équations donnent

$\theta -\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}={\frac {1}{\theta +\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}}},\quad t_{4}-u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}={\frac {1}{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\,;$

donc, mettant dans l’expression de $u=\theta u_{4}-\upsilon t_{4},$ à la place de $\theta ,$ $\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}+{\frac {1}{\theta +\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}}}$ et à la place de $t_{4},$ $u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}+{\frac {1}{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}},$ on aura

$u={\frac {u_{4}}{\theta +\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}}}-{\frac {\upsilon }{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\,;$

de même, si l’on considère la quantité $t_{3}u_{4}-u_{3}t_{4},$ elle pourra aussi, à cause de $t_{3}^{2}-\mathrm {A} u_{3}^{2}=1,$ se mettre sous la forme

${\frac {u_{4}}{t_{3}+u_{3}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}-{\frac {u_{3}}{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}.$