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trouve une qui soit égale à un nombre entier, alors la fraction continue sera terminée, parce qu’on pourra y conserver cette quantité même ; par exemple, si $c$ est un nombre entier, la fraction continue qui donne la valeur de $a$ sera

$a=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{c}}}}$

En effet, il est clair qu’il faudrait prendre $\gamma =c,$ ce qui donnerait

$d={\frac {1}{c-\gamma }}={\frac {1}{0}}=\infty ,$

et par conséquent $\delta =\infty ,$ de sorte que l’on aurait

$a=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\infty }}}}}},$

les termes suivants s’évanouissant vis-à-vis de la quantité infimie $\infty \,;$ or ${\frac {1}{\infty }}=0\,;$ donc on aura simplement

$a=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{c}}}}.$

Ce cas arrivera toutes les fois que la quantité $a$ sera commensurable, c’est-à-dire qu’elle sera exprimée par une fraction rationnelle ; mais, lorsque a sera une quantité irrationnelle ou transcendante, alors la fraction continue ira nécessairement à l’infini.

4. Supposons que la quantité $a$ soit une fraction ordinaire $\mathrm {\frac {A}{B}} ,$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des nombres entiers donnés ; il est d’abord évident que le nombre entier $\alpha$ qui approchera le plus de $\mathrm {\frac {A}{B}}$ sera le quotient de la division de $\mathrm {A}$ par $\mathrm {B} \,;$ ainsi, supposant la division faite à la manière ordinaire, et