nommant
le quotient et
le reste, on aura
donc
pour avoir de même la valeur entière approchée
de la fraction
il n’y aura qu’à diviser
par
et prendre pour
le quotient de cette division ; alors, nommant
le reste, on aura
et par conséquent
on continuera donc à diviser
par
et le quotient sera la valeur du nombre
et ainsi de suite ; d’où résulte cette règle fort simple pour réduire les fractions ordinaires en fractions continues :
Divisez d’abord le numérateur de la fraction proposée par son dénominateur, et nommez le quotient
divisez ensuite le dénominateur par le reste, et nommez le quotient
divisez après cela le premier reste par le second reste, et soit le quotient
continuez ainsi en divisant toujours l’avant-dernier reste par le dernier, jusqu’à ce qu’on parvienne à une division qui se fasse sans reste, ce qui doit nécessairement arriver, puisque les restes sont tous des nombres entiers qui vont en diminuant ; vous aurez la fraction continue
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9201291c9cb01c0cf5e464d46ccd642123d4c43)
qui sera égale à la fraction donnée.
5. Soit proposé de réduire en fraction continue la fraction
on divisera donc
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
ce qui donnera le quotient
et le reste
on divisera encore
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
on aura le quotient
et le reste
on divisera
par
on aura le quotient
et le reste
enfin, divisant
par
on aura le quotient
et le