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que les valeurs de $t$ et $u$ qui répondraient à l’exposant $m+2\mu \,;$ car, désignant ces dernières par $\theta$ et $\upsilon ,$ on aura

${\begin{aligned}&t\pm u\mathrm {{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m},\\&\theta \pm \upsilon \mathrm {{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{m+2\mu }\,;\end{aligned}}$

donc

$\theta \pm \upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)\mathrm {\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)} ^{2\mu }.$

Mais nous venons de trouver ci-dessus

$\mathrm {T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{2\mu }} \,;$

donc on aura

$\theta \pm \upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}=\left(t\pm u{\sqrt {\mathrm {A} }}\right)\mathrm {\left(T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}\right)} ,$

d’où l’on tire, en faisant la multiplication et comparant ensuite les parties rationnelles ensemble et les irrationnelles ensemble,

$\theta =t\mathrm {T} _{2}+\mathrm {A} u\mathrm {U} _{2},\quad \upsilon =t\mathrm {U} _{2}+u\mathrm {T} _{2}.$

Or $\mathrm {U} _{2}$ est divisible par $\Delta ,$ et $\mathrm {T} _{2}$ laisse le reste $1\,;$ donc $\theta$ laissera le même reste que $t,$ et $\upsilon$ le même reste que $u$.

Donc, en général, les restes des valeurs de $t$ et $u$ répondant aux exposants $m+2\mu ,m+4\mu ,m+6\mu ,\ldots$ seront les mêmes que ceux des valeurs qui répondent à l’exposant quelconque $m$.

De là on peut donc conclure que, si l’on veut avoir les restes provenant de la division des termes $t_{1},t_{2},t_{3},\ldots$ et $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots$ qui répondent à $m=1,2,$$3,\ldots$ par le nombre $\Delta$ il suffira de trouver ces restes jusqu’aux termes $t_{2\mu }$ et $u_{2\mu }$ inclusivement ; car, après ces termes, les mêmes restes reviendront dans le même ordre, et ainsi de suite à l’infini.

Quant aux termes $t_{2\mu }$ et $u_{2\mu },$ auxquels on pourra s’arrêter, ce seront ceux dont l’un $u_{2\mu }$ sera exactement divisible par $\Delta ,$ et dont l’autre $t_{2\mu }$ laissera l’unité pour reste ; ainsi il n’y aura qu’à pousser les divisions jusqu’à ce qu’on parvienne aux restes $1$ et $0$ alors on sera assuré que