Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/147

les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes que l’on a déjà trouvés.

On pourrait aussi trouver l’exposant $2\mu$ a priori ; car il n’y aurait qu’à faire le calcul indiqué dans le n^o 71, 2^o, premièrement pour le nombre $\mathrm {A} ,$ et ensuite pour le nombre $\mathrm {A} \Delta ^{2}\,;$ et, si l’on nomme $\varpi$ le numéro du terme de la série $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ qui, dans le premier cas, sera $=1,$ et $\rho$ le numéro du terme qui sera $=1$ dans le second cas, on n’aura qu’a chercher le plus petit multiple de $\varpi$ et de $\rho ,$ lequel, étant divisé par $\varpi ,$ donnera la valeur cherchée de $\mu .$

Ainsi, si l’on a, par exemple, $\mathrm {A} =6$ et $\Delta =3,$ on trouvera dans la Table du n^o 41, pour le radical ${\sqrt {6}},$

$\mathrm {P_{0}=1,\quad P_{1}=-2,\quad P_{2}=1} \,;$

donc $\varpi =2\,;$ ensuite on trouvera dans la même Table, pour le radical ${\sqrt {6.9}}={\sqrt {54}},$

$\mathrm {P_{0}=1,\quad P_{1}=-5,\quad P_{2}=9,\quad P_{3}=-2,\quad P_{4}=9,\quad P_{5}=-5,\quad P_{6}} =1\,;$

donc $\rho =6\,;$ or le plus petit multiple de $2$ et $6$ est $6,$ qui, étant divisé par $2,$ donne $3$ pour quotient, de sorte qu’on aura ici $\mu =3$ et $2\mu =6.$

Donc, pour avoir dans ce cas tous les restes de la division des termes $t_{1},t_{2},t_{3},\ldots$ et $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots$ par $3,$ il suffira de chercher ceux des six premiers termes de l’une et de l’autre série ; car les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes, c’est-à-dire que les septièmes termes donneront les mêmes restes que les premiers, les huitièmes les mêmes restes que les seconds, et ainsi de suite à l’infini.

Au reste, il peut arriver quelquefois que les termes $t_{\mu }$ et $u_{\mu }$ aient les mêmes propriétés que les termes $t_{2\mu }$ et $u_{2\mu },$ c’est-à-dire que $u_{\mu }$ soit divisible par $\Delta ,$ et que $t_{\mu }$ laisse l’unité pour reste. Dans ces cas on pourra s’arrêter à ces mêmes termes ; car les restes des termes suivants $t_{\mu +1},t_{\mu +2},\ldots ,$ $u_{\mu +1},u_{\mu +2},\ldots$ seront les mêmes que ceux des termes $t_{1},t_{2},\ldots ,$ $u_{1},u_{2},\ldots$ et ainsi des autres.

En général, nous désignerons par $\mathrm {M}$ la plus petite valeur de l’exposant $m,$ qui rendra $t-1$ et $u$ divisibles par $\Delta .$