que ce Problème est nécessaire pour trouver toutes les solutions possibles de ces sortes d’équations. (Voir le Chapitre VI ci-dessus, le tome VI des anciens Commentaires de Pétersbourg, et le tome IX des nouveaux.)
La méthode que nous avons suivie pour démontrer cette proposition est un peu différente de celle d’Euler, mais aussi est-elle, si je ne me trompe, plus directe et plus générale ; car, d’un côté, la méthode d’Euler conduit naturellement à des expressions fractionnaires lorsqu’il s’agit de les éviter, et de l’autre on ne voit pas clairement que les suppositions qu’on y fait pour faire disparaître les fractions soient les seules qui puissent avoir lieu. En effet, nous avons fait voir ailleurs qu’il ne suffit pas toujours de trouver une seule solution de l’équation
pour pouvoir en déduire toutes les autres à l’aide de l’équation
et qu’il peut y avoir souvent, au moins lorsque n’est pas un nombre premier, des valeurs de et qui ne sauraient être renfermées dans les expressions générales d’Euler. [Voir le no 45 de mon Mémoire sur les Problèmes indéterminés, dans les Mémoires de Berlin, année 1767[1].]
Quant à la méthode de résoudre les équations de la forme
il nous semble que celle du Chapitre VII, quelque ingénieuse qu’elle soit, est encore assez imparfaite ; car 1o elle ne fait pas voir que toute équation de ce genre est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque est un nombre positif non carré ; 2o il n’est pas démontré qu’elle doive faire parvenir toujours à la résolution cherchée. Wallis, il est vrai, a prétendu prouver la première de ces deux propositions ; mais sa démonstration n’est, si j’ose le dire, qu’une simple pétition de principe. (Voir le Chapitre XCIX de son Algèbre.) Je crois donc être le premier qui en ait donné une tout à fait rigoureuse ; elle se trouve dans les Mé-
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. II, p. 457.
