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langes de Turin, tome IV^[1] ; mais elle est très-longue et très-indirecte ; celle du n^o 37 ci-dessus est tirée des vrais principes de la chose, et ne laisse, ce me semble, rien à désirer. Cette méthode nous met aussi en état d’apprécier celle du Chapitre VII, et de reconnaître les inconvénients où l’on pourrait tomber si on la suivait sans aucune précaution ; c’est ce que nous allons discuter.

85. De ce que nous avons démontré dans le § II, il s’ensuit que les valeurs de $p$ et $q$ qui satisfont à l’équation $p^{2}-\mathrm {A} q^{2}=1$ ne peuvent être que les termes de quelqu’une des fractions principales déduites de la fraction continue qui exprimerait la valeur de ${\sqrt {\mathrm {A} }}\,;$ de sorte que, supposant cette fraction continue représentée ainsi

$\mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+{\cfrac {1}{\mu _{3}+\ddots }}}}}},$

on aura nécessairement

${\frac {p}{q}}=\mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+\ddots +{\cfrac {1}{\mu _{\rho }}}}}}},$

$\mu _{\rho }$ étant un terme quelconque de la série infinie $\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$ dont le quantième $\rho$ ne peut se déterminer qu’a posteriori.

Il faut remarquer que dans cette fraction continue les nombres $\mu ,\mu _{1},$$\mu _{2},\ldots$ doivent être tous positifs, quoique nous ayons vu dans le n^o 3 qu’on peut, en général, dans les fractions continues, rendre les dénominateurs positifs ou négatifs, suivant que l’on prend les valeurs approchées plus petites ou plus grandes que les véritables ; mais la méthode du Problème I (n^os 23 et suivants) exige absolument que les valeurs approchées $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots$ soient toutes prises en défaut.

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 671.