86. Maintenant, puisque la fraction
est égale à une fraction continue dont les termes sont
il est clair, par le no 4, que
sera le quotient de
divisé par
que
sera celui de
divisé par le reste,
celui de ce reste divisé par le second reste, et ainsi de suite ; de sorte que, nommant
les restes dont il s’agit, on aura, par la nature de la division,
![{\displaystyle p=\mu q+r,\quad q=\mu _{1}r+s,\quad r=\mu _{2}s+t,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36fb9b7f28a7dfefec99ab071d6bf9b333771c9)
où le dernier reste sera nécessairement
et l’avant-dernier
à cause que
et
sont des nombres premiers entre eux. Ainsi
sera la valeur entière approchée de
celle de
celle de
etc., ces valeurs étant toutes prises moindres que les véritables, à l’exception de la dernière
qui sera exactement égale à la fraction correspondante, à cause que le reste suivant est supposé nul.
Or, comme les nombres
sont les mêmes pour la fraction continue qui exprime la valeur de
et pour celle qui exprime la valeur de
on peut prendre, jusqu’au terme
c’est-à-dire
Ainsi on cherchera d’abord la valeur approchée en défaut de
c’est-à-dire de
et ce sera la valeur de
ensuite on substituera dans
à la place de
sa valeur
ce qui donnera
![{\displaystyle \left(\mu ^{2}-\mathrm {A} \right)q^{2}+2\mu qr+r^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f649422b2b88e6201766b1bd3f60ef8731004d0f)
et l’on cherchera de nouveau la valeur approchée en défaut de
c’est-à-dire de la racine positive de l’équation
![{\displaystyle \left(\mu ^{2}-\mathrm {A} \right)\left({\frac {q}{r}}\right)^{2}+2\mu {\frac {q}{r}}+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644cf855e88117fe94a88b19dd22f55710d27e21)
et l’on aura la valeur de ![{\displaystyle \mu _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7579f6c2fa795243fecfaa63b3ec3714641cef1c)
On continuera à substituer dans la transformée
![{\displaystyle \left(\mu ^{2}-\mathrm {A} \right)q^{2}+2\mu qr+r^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f649422b2b88e6201766b1bd3f60ef8731004d0f)