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86. Maintenant, puisque la fraction ${\frac {p}{q}}$ est égale à une fraction continue dont les termes sont $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{\rho },$ il est clair, par le n^o 4, que $\mu$ sera le quotient de $p$ divisé par $q,$ que $\mu _{1}$ sera celui de $q$ divisé par le reste, $\mu _{2}$ celui de ce reste divisé par le second reste, et ainsi de suite ; de sorte que, nommant $r,s,t,\ldots$ les restes dont il s’agit, on aura, par la nature de la division,

p=\mu q+r,\quad q=\mu _{1}r+s,\quad r=\mu _{2}s+t,\quad \ldots ,

où le dernier reste sera nécessairement $=0,$ et l’avant-dernier $=1,$ à cause que $p$ et $q$ sont des nombres premiers entre eux. Ainsi $\mu$ sera la valeur entière approchée de ${\frac {p}{q}},$ $\mu _{1}$ celle de ${\frac {q}{r}},$ $\mu _{2}$ celle de ${\frac {r}{s}},$ etc., ces valeurs étant toutes prises moindres que les véritables, à l’exception de la dernière $\mu _{\rho },$ qui sera exactement égale à la fraction correspondante, à cause que le reste suivant est supposé nul.

Or, comme les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{\rho }$ sont les mêmes pour la fraction continue qui exprime la valeur de ${\frac {p}{q}},$ et pour celle qui exprime la valeur de ${\sqrt {\mathrm {A} }},$ on peut prendre, jusqu’au terme $\mu _{\rho },$ ${\frac {p}{q}}={\sqrt {\mathrm {A} }},$ c’est-à-dire $p^{2}-\mathrm {A} q^{2}=0.$ Ainsi on cherchera d’abord la valeur approchée en défaut de ${\frac {p}{q}},$ c’est-à-dire de ${\sqrt {\mathrm {A} }},$ et ce sera la valeur de $\mu \,;$ ensuite on substituera dans $p^{2}-\mathrm {A} q^{2}=0,$ à la place de $p,$ sa valeur $\mu q+r,$ ce qui donnera