qui me paraît mériter particulièrement l’attention des géomètres par sa nouveauté et par sa singularité.
88. Soient
et
les deux racines de l’équation du second degré
![{\displaystyle s^{2}-as+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e411fafc3e6666f9728c0054471c9f2940927df7)
et considérons le produit de ces deux facteurs
![{\displaystyle (x+\alpha y)(x+\beta y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363372362260ce4c4843b509565ad960f162a26a)
qui sera nécessairement réel ; ce produit sera
![{\displaystyle x^{2}+(\alpha +\beta )xy+\alpha \beta y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6373280d82a380b9a17f8c8433daa28c5e6dcf)
or on a
et
par la nature de l’équation
donc on aura cette formule du second degré
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
laquelle est composée des deux facteurs
![{\displaystyle x+\alpha y\quad {\text{et}}\quad x+\beta y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6abcd31a89466faeaa1de8da60a993a6922b748)
Maintenant il est visible que, si l’on a une formule semblable
![{\displaystyle x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cf69237dcde02bad40b9340180edc76bffbfcc)
et qu’on veuille les multiplier l’une par l’autre, il suffira de multiplier ensemble les deux facteurs
et les deux
ensuite les deux produits l’un par l’autre. Or le produit de
par
est
![{\displaystyle xx_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1})+\alpha ^{2}yy_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee81142128d6c51a2c5c1f7a8efb856e0e2a09e)
mais, puisque
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle s^{2}-as+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e411fafc3e6666f9728c0054471c9f2940927df7)
on aura
![{\displaystyle \alpha ^{2}-a\alpha +b=0\,;\quad {\text{donc}}\quad \alpha ^{2}=a\alpha -b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bf32e0e284e053ac905c1b6387badf3555767e)