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qui me paraît mériter particulièrement l’attention des géomètres par sa nouveauté et par sa singularité.

88. Soient $\alpha$ et $\beta$ les deux racines de l’équation du second degré

$s^{2}-as+b=0,$

et considérons le produit de ces deux facteurs

$(x+\alpha y)(x+\beta y),$

qui sera nécessairement réel ; ce produit sera

$x^{2}+(\alpha +\beta )xy+\alpha \beta y^{2}\,;$

or on a $\alpha +\beta =a,$ et $\alpha \beta =b,$ par la nature de l’équation $s^{2}-as+b=0\,;$ donc on aura cette formule du second degré

$x^{2}+axy+by^{2},$

laquelle est composée des deux facteurs

$x+\alpha y\quad {\text{et}}\quad x+\beta y.$

Maintenant il est visible que, si l’on a une formule semblable

$x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2},$

et qu’on veuille les multiplier l’une par l’autre, il suffira de multiplier ensemble les deux facteurs $x+\alpha y,\ x_{1}+\alpha y_{1},$ et les deux $x+\beta y,\ x_{1}+\beta y_{1},$ ensuite les deux produits l’un par l’autre. Or le produit de $x+\alpha y$ par $x_{1}+\alpha y_{1}$ est

$xx_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1})+\alpha ^{2}yy_{1}\,;$

mais, puisque $\alpha$ est une des racines de l’équation

$s^{2}-as+b=0,$

on aura

$\alpha ^{2}-a\alpha +b=0\,;\quad {\text{donc}}\quad \alpha ^{2}=a\alpha -b\,;$