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donc, substituant cette valeur de $\alpha ^{2}$ dans la formule précédente, elle deviendra

$xx_{1}-byy_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1}+ayy_{1}),$

de sorte qu’en faisant, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&xx_{1}-byy_{1},\\\mathrm {Y} =&xy_{1}\,-yx_{1}+ayy_{1},\end{aligned}}$

le produit des deux facteurs $x+\alpha y,\ x_{1}+\alpha y_{1}$ sera

$\mathrm {X+\alpha Y} ,$

et par conséquent de la même forme que chacun d’eux. On trouvera de même que le produit des deux autres facteurs $x+\beta y$ et $x_{1}+\beta y_{1}$ sera

$\mathrm {X+\beta Y} ,$

de sorte que le produit total sera

$\mathrm {(X+\alpha Y)(X+\beta Y)} ,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}.$

C’est le produit des deux formules semblables

${\begin{aligned}&x^{2}+ax\ \,y\ \,+by^{2},\\&x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2}.\end{aligned}}$

Si l’on voulait avoir le produit de ces trois formules semblables

${\begin{aligned}&x^{2}+ax\ \,y\ \,+by^{2},\\&x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2},\\&x_{2}^{2}+ax_{2}y_{2}+by_{2}^{2},\end{aligned}}$

il n’y aurait qu’à trouver celui de la formule

$\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}$

par la dernière $x_{2}^{2}+ax_{2}y_{2}+by_{2}^{2},$ et il est visible par les formules ci-dessus qu’en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}=&\mathrm {X} x_{2}-b\mathrm {Y} y_{2},\\\mathrm {Y} _{1}=&\mathrm {X} y_{2}\,+\mathrm {Y} x_{2}+a\mathrm {Y} y_{2},\end{aligned}}$