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le produit cherché serait

$\mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X} _{1}\mathrm {Y} _{1}+b\mathrm {Y} _{1}^{2}.$

On pourra trouver de même le produit de quatre ou d’un plus grand nombre de formules semblables à celle-ci

$x^{2}+axy+by^{2},$

et ces produits seront toujours aussi de la même forme.

89. Si l’on fait $x_{1}=x$ et $y_{1}=y,$ on aura

$\mathrm {X} =x^{2}-by^{2},\quad \mathrm {Y} =2xy+ay^{2},$

et par conséquent

$\left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{2}=\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}.$

Donc, si l’on veut trouver des valeurs rationnelles de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ telles que la formule

$\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}$

devienne un carré, il n’y aura qu’à donner à $\mathrm {X}$ et à $\mathrm {Y}$ les valeurs précédentes, et l’on aura pour la racine du carré la formule

$x^{2}+axy+by^{2},$

$x$ et $y$ étant deux indéterminées.

Si l’on fait de plus $x_{2}=x_{1}=x,$ et $y_{2}=y_{1}=y,$ on aura

$\mathrm {X} _{1}=\mathrm {X} x-b\mathrm {Y} y,\quad \mathrm {Y} _{1}=\mathrm {X} y+\mathrm {Y} x+a\mathrm {Y} y,$

c’est-à-dire, en substituant les valeurs précédentes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}=&x^{3}-3bxy^{2}-aby^{3},\\\mathrm {Y} _{1}=&3x^{2}y+3axy^{2}+\left(a^{2}-b\right)y^{3}\,;\end{aligned}}$

donc

$\left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{3}=\mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X_{1}Y_{1}} +b\mathrm {Y} _{1}^{2}.$