Ainsi, si l’on proposait de trouver des valeurs rationnelles de
et
telles que la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X_{1}Y_{1}} +b\mathrm {Y} _{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6205b358c4001236d343b45b9376cf1c7b2f623)
devînt un cube, il n’y aurait qu’à donner à
et
les valeurs précédentes, moyennant quoi on aurait un cube dont la racine serait
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
et
étant deux indéterminées.
On pourrait résoudre d’une manière semblable les questions où il s’agirait de produire des puissances quatrièmes, cinquièmes,… ; mais on peut aussi trouver immédiatement des formules générales pour une puissance quelconque
sans passer par les puissances inférieures.
Soit donc proposé de trouver des valeurs rationnelles de
et
telles que la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb55c14114212a733be8e13440f4b8dfacd7cf9e)
devienne une puissance
c’est-à-dire qu’il s’agisse de résoudre l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}=\mathrm {Z} ^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667eccb21ffbe1077bb2a20f663c9e52920a695e)
Comme la quantité
est formée du produit des deux facteurs
et
il faudra, pour que cette quantité devienne une puissance de degré
que chacun de ses deux facteurs devienne aussi une semblable puissance.
Faisons donc d’abord
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y} =(x+\alpha y)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f26ba8ae1b5a51eee95149e3bad34b63c6afb73)
et, développant cette puissance par le théorème de Newton, on aura
![{\displaystyle x^{m}+mx^{m-1}y\alpha +{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\alpha ^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\alpha ^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be021789b8e2acb90867a24f50a2f24f2df4648f)
Or, puisque
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle s^{2}-as+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e411fafc3e6666f9728c0054471c9f2940927df7)