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on aura aussi

$\alpha ^{2}-a\alpha +b=0,$

donc

${\begin{aligned}\alpha ^{2}=&a\alpha -b,\qquad \alpha ^{3}=a\alpha ^{2}-b\alpha =\left(a^{2}-b\right)\alpha -ab,\\\alpha ^{4}=&\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{2}-ab\alpha =\left(a^{3}-2ab\right)\alpha -a^{2}b+b^{2},\end{aligned}}$

et ainsi de suite. Ainsi il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans la formule précédente, et elle se trouvera par là composée de deux parties, l’une toute rationnelle qu’on comparera à $\mathrm {X} ,$ et l’autre toute multipliée par la racine $\alpha ,$ qu’on comparera à $\alpha \mathrm {Y} .$

Si l’on fait, pour plus de simplicité,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} _{1}&=1,&\mathrm {B} _{1}&=0,\\\mathrm {A} _{2}&=a,&\mathrm {B} _{2}&=b,\\\mathrm {A} _{3}&=a\mathrm {A} _{2}-b\mathrm {A} _{1},&\mathrm {B} _{3}&=a\mathrm {B} _{2}-b\mathrm {B} _{1},\\\mathrm {A} _{4}&=a\mathrm {A} _{3}-b\mathrm {A} _{2},&\mathrm {B} _{4}&=a\mathrm {B} _{3}-b\mathrm {B} _{2},\\\mathrm {A} _{5}&=a\mathrm {A} _{4}-b\mathrm {A} _{3},\qquad &\mathrm {B} _{5}&=a\mathrm {B} _{4}-b\mathrm {B} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{aligned}\alpha \ \,&=\mathrm {A_{1}\alpha -B_{1}} ,\\\alpha ^{2}&=\mathrm {A_{2}\alpha -B_{2}} ,\\\alpha ^{3}&=\mathrm {A_{3}\alpha -B_{3}} ,\\\alpha ^{4}&=\mathrm {A_{4}\alpha -B_{4}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant ces valeurs et comparant, on aura

$\mathrm {X} =x^{m}-mx^{m-1}y\mathrm {B} _{1}-{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\mathrm {B} _{2}$

$-{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\mathrm {B} _{3}-\ldots ,$

$\mathrm {Y} =mx^{m-1}y\mathrm {A} _{1}+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\mathrm {A} _{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\mathrm {A} _{3}+\ldots .$

Or, comme la racine $\alpha$ n’entre point dans les expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ il est clair qu’ayant

$\mathrm {X+\alpha Y} =(x+\alpha y)^{m},$

on aura aussi

$\mathrm {X+\beta Y} =(x+\beta y)^{m}\,;$