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donc, multipliant ces deux équations l’une par l’autre, on aura

$\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}=\left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{m},$

et par conséquent

$\mathrm {Z} =x^{2}+axy+by^{2}.$

Ainsi le Problème est résolu.

Si $a$ était $=0,$ les formules précédentes deviendraient beaucoup plus simples ; car on aurait

$\mathrm {A_{1}=1,\ \ A_{2}=0,\ \ A_{3}} =-b,\ \ \mathrm {A_{4}=0,\ \ A_{5}} =b^{2},\ \ \mathrm {A_{6}=0,\ \ A_{7}} =-b^{3},\ \ \ldots ,$

et de même

$\mathrm {B_{1}=0,\ \ B_{2}} =b,\ \ \mathrm {B_{3}=0,\ \ B_{4}} =-b^{2},\ \ \mathrm {B_{5}=0,\ \ B_{6}} =b^{3},\ \ \ldots ,$

donc

$\mathrm {X} =x^{m}-{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}b+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}x^{m-4}y^{4}b^{2}-\ldots ,$

$\mathrm {Y} =mx^{m-1}y+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}b$

$+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{2.3.4.5}}x^{m-5}y^{5}b^{2}-\ldots .$

et ces valeurs satisferont à l’équation

$\mathrm {X} ^{2}+b\mathrm {Y} ^{2}=\left(x^{2}+by^{2}\right)^{m}.$

90. Passons maintenant aux formules de trois dimensions ; pour cela nous désignerons par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les trois racines de l’équation du troisième degré,

$s^{3}-as^{2}+bs-c=0,$

et nous considérerons ensuite le produit de ces trois facteurs

$\left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)\left(x+\beta y+\beta ^{2}z\right)\left(x+\gamma y+\gamma ^{2}z\right),$

lequel sera nécessairement rationnel, comme on va le voir. La multiplication faite, on aura le produit suivant

${\begin{aligned}x^{3}&+(\alpha +\beta +\gamma )x^{2}y+\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)x^{2}z+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )xy^{2}\\&+\left(\alpha ^{2}\beta +\alpha ^{2}\gamma +\beta ^{2}\alpha +\beta ^{2}\gamma +\gamma ^{2}\alpha +\gamma ^{2}\beta \right)xyz+\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}\right)xz^{2}\\&+\alpha \beta \gamma y^{3}+\left(\alpha ^{2}\beta \gamma +\beta ^{2}\alpha \gamma +\gamma ^{2}\alpha \beta \right)y^{2}z+\left(\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma +\alpha ^{2}\gamma ^{2}\beta +\beta ^{2}\gamma ^{2}\alpha \right)yz^{2}\\&+\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}z^{3}\,;\end{aligned}}$