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or, par la nature de l’équation, on a

$\alpha +\beta +\gamma =a,\quad \alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =b,\quad \alpha \beta \gamma =c\,;$

de plus, on trouvera

${\begin{aligned}&\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=(\alpha +\beta +\gamma )^{2}-2(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )=a^{2}-2b,\\&\alpha ^{2}\beta +\alpha ^{2}\gamma +\beta ^{2}\alpha +\beta ^{2}\gamma +\gamma ^{2}\alpha +\gamma ^{2}\beta =(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )-3\alpha \beta \gamma \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =ab-3c,\\&\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}=(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )^{2}-2(\alpha +\beta +\gamma )\alpha \beta \gamma =b^{2}-2ac,\\&\alpha ^{2}\beta \gamma +\beta ^{2}\alpha \gamma +\gamma ^{2}\alpha \beta =(\alpha +\beta +\gamma )\alpha \beta \gamma =ac,\\&\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma +\alpha ^{2}\gamma ^{2}\beta +\beta ^{2}\gamma ^{2}\alpha =(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )\alpha \beta \gamma =bc\,;\end{aligned}}$

donc, faisant ces substitutions, le produit dont il s’agit sera

${\begin{aligned}x^{3}&+ax^{2}y+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z+bxy^{2}+(ab-3c)xyz\\&+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+cy^{3}+acy^{2}z+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}.\end{aligned}}$

Et cette formule aura la propriété que, si l’on multiplie ensemble autant de semblables formules que l’on voudra, le produit sera toujours aussi une formule semblable.

En effet, supposons qu’on demande le produit de cette formule-là par cette autre-ci

${\begin{aligned}x^{3}&+ax_{1}^{2}y_{1}+\left(a^{2}-2b\right)x_{1}^{2}z_{1}+bx_{1}y_{1}^{2}+(ab-3c)x_{1}y_{1}z_{1}\\&+\left(b^{2}-2ac\right)x_{1}z_{1}^{2}+cy_{1}^{3}+acy_{1}^{2}z_{1}+bcy_{1}z_{1}^{2}+c^{2}z_{1}^{3}\,;\end{aligned}}$

il est clair qu’il n’y aura qu’à chercher celui de ces six facteurs

${\begin{array}{lll}x\ \,+\alpha y\ \,+\alpha ^{2}z,&x\ \,+\beta y\ \,+\beta ^{2}z,&x\ \,+\gamma y\ \,+\gamma ^{2}z,\\x_{1}+\alpha y_{1}+\alpha ^{2}z_{1},&x_{1}+\beta y_{1}+\beta ^{2}z_{1},&x_{1}+\gamma y_{1}+\gamma ^{2}z_{1},\\\end{array}}$

qu’on multiplie d’abord $x+\alpha y+\alpha ^{2}z$ par $x_{1}+\alpha y_{1}+\alpha ^{2}z_{1},$ on aura ce produit partiel

$xx_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1})+\alpha ^{2}(xz_{1}+zx_{1}+yy_{1})+\alpha ^{3}(yz_{1}+zy_{1})+\alpha ^{4}zz_{1}\,;$

or, $\alpha$ étant une des racines de l’équation

$s^{3}-as^{2}+bs-c=0,$