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Si l’on avait une troisième formule telle que celle-ci

${\begin{aligned}x_{2}^{3}&+ax_{2}^{2}y_{2}+\left(a^{2}-2b\right)x_{2}^{2}z_{2}+bx_{2}y_{2}^{2}+(ab-3c)x_{2}y_{2}z_{2}\\&+\left(b^{2}-2ac\right)x_{2}z_{2}^{2}+cy_{2}^{3}+acy_{2}^{2}z_{2}+bcy_{2}z_{2}^{2}+c^{2}z_{2}^{3},\end{aligned}}$

et qu’on voulût avoir le produit de cette formule et des deux précédentes, il est clair qu’il n’y aurait qu’à faire

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\mathrm {X} x_{2}+c(\mathrm {Y} z_{2}+\mathrm {Z} y_{2})+ac\mathrm {Z} z_{2},\\\mathrm {Y} =&\mathrm {X} y_{2}+\mathrm {Y} x_{2}-b(\mathrm {Y} z_{2}+\mathrm {Z} y_{2})-(ab-c)\mathrm {Z} z_{2},\\\mathrm {Z} =&\mathrm {X} z_{2}+\mathrm {Z} x_{2}+\mathrm {Y} y_{2}+a(\mathrm {Y} z_{2}+\mathrm {Z} y_{2})+\left(a^{2}-b\right)\mathrm {Z} z_{2},\end{aligned}}$

et l’on aurait pour le produit cherché

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}^{3}&+a\mathrm {X_{1}^{2}Y_{1}} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X_{1}^{2}Z_{1}} +b\mathrm {X_{1}Y_{1}^{2}} +(ab-3c)\mathrm {X_{1}Y_{1}Z_{1}} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {X_{1}Z_{1}^{2}} +c\mathrm {Y} _{1}^{3}+ac\mathrm {Y_{1}^{2}Z_{1}} +bc\mathrm {Y_{1}Z_{1}^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} _{1}^{3}.\end{aligned}}$

94. Faisons maintenant $x_{1}=x,\ y_{1}=y,\ z_{1}=z\,;$ nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&x^{2}+2cyz+acz^{2},\\\mathrm {Y} =&2xy-2byz-(ab-c)z^{2},\\\mathrm {Z} =&2xz+y^{2}+2ayz+(a^{2}-b)z^{2},\end{aligned}}$

et ces valeurs satisferont à l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{3}&+a\mathrm {X^{2}Y} +b\mathrm {XY^{2}} +c\mathrm {Y} ^{3}+\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X^{2}Z} \\&+(ab-3c)\mathrm {XYZ} +ac\mathrm {Y^{2}Z} +\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {XZ^{2}} +bc\mathrm {YZ^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} ^{3}=\mathrm {V} ^{2},\end{aligned}}$

en prenant

${\begin{aligned}\mathrm {V} =x^{3}&+ax^{2}y+bxy^{2}+cy^{3}+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z\\&+(ab-3c)xyz+acy^{2}z+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}\,;\end{aligned}}$

donc, si l’on avait, par exemple, à résoudre une équation de cette forme,

$\mathrm {X} ^{3}+a\mathrm {X^{2}Y} +b\mathrm {XY^{2}} +c\mathrm {Y^{3}=V^{2}} ,$

$a,b,c$ étant des quantités quelconques données, il n’y aurait qu’à