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rendre $\mathrm {Z} =0,$ en faisant

$2xz+y^{2}+2ayz+\left(a^{2}-b\right)z^{2}=0,$

d’où l’on tire

$x=-{\frac {y^{2}+2ayz+\left(a^{2}-b\right)z^{2}}{2z}},$

et, substituant cette valeur de $x$ dans les expressions précédentes de $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {V} ,$ on aura des valeurs très-généralesde ces quantités, qui satisferont l’équation proposée.

Cette solution mérite d’être bien remarquée à cause de sa généralité et de la manière dont nous y sommes parvenus, qui est peut-être l’unique qui puisse y conduire facilement.

On aurait de même la résolution de l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}^{3}&+a\mathrm {X_{1}^{2}Y_{1}} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X_{1}^{2}Z_{1}} +b\mathrm {X_{1}Y_{1}^{2}} +(ab-3c)\mathrm {X_{1}Y_{1}Z_{1}} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {X_{1}Z_{1}^{2}} +c\mathrm {Y} _{1}^{3}+ac\mathrm {Y_{1}^{2}Z_{1}} +bc\mathrm {Y_{1}Z_{1}^{2}} +c^{2}\mathrm {Z_{1}^{3}=V^{3}} ,\end{aligned}}$

en faisant, dans les formules ci-dessus,

$x_{2}=x_{1}=x,\quad y_{2}=y_{1}=y,\quad z_{2}=z_{1}=z,$

et prenant

${\begin{aligned}\mathrm {V} =x^{3}&+ax^{2}y+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z+bxy^{2}+(ab-3c)xyz\\&+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+cy^{3}+acy^{2}z+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}.\end{aligned}}$

Et l’on pourrait résoudre aussi successivement les cas où, au lieu de la troisième puissance $\mathrm {V} ^{3},$ on aurait $\mathrm {V^{4},V^{5}} ,\ldots \,;$ mais nous allons traiter ces questions d’une manière tout à fait générale, comme nous l’avons fait dans le n^o 90 ci-dessus.

92. Soit donc proposé de résoudre une équation de cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{3}&+a\mathrm {X^{2}Y} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X^{2}Z} +b\mathrm {XY^{2}} +(ab-3c)\mathrm {XYZ} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {XZ^{2}} +c\mathrm {Y} ^{3}+ac\mathrm {Y^{2}Z} +bc\mathrm {YZ^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} ^{3}=\mathrm {V} ^{m}.\end{aligned}}$

Puisque la quantité qui forme le premier membre de cette équation n’est autre chose que le produit de ces trois facteurs

$\mathrm {\left(X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z\right)\left(X+\beta Y+\beta ^{2}Z\right)\left(X+\gamma Y+\gamma ^{2}Z\right)} ,$