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il est clair que, pour rendre cette quantité égale à une puissance du degré $m,$ il ne faudra que rendre chacun de ses facteurs en particulier égal à une pareille puissance. Soit donc

$\mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} =(x+\alpha y+\alpha ^{2}z)^{m}\,;$

on commencera par développer la puissance $m$ de $x+\alpha y+\alpha ^{2}z$ par le théorème de Newton, ce qui donnera

${\begin{aligned}x^{m}&+mx^{m-1}(y+\alpha z)\alpha +{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}(y+\alpha z)^{2}\alpha ^{2}\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}(y+\alpha z)^{3}\alpha ^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

ou bien, en formant les différentes puissances de $y+\alpha z,$ et ordonnant ensuite par rapport aux dimensions de $\alpha ,$

${\begin{aligned}x^{m}&+mx^{m-1}y\alpha +\left[mx^{m-1}z+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\right]\alpha ^{2}\\&+\left[m(m-1)x^{m-2}yz+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\right]\alpha ^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

Mais, comme dans cette formule on ne voit pas aisément la loi des termes, nous supposerons, en général,

$\left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m}=\mathrm {P+P_{1}\alpha +P_{2}\alpha ^{2}+P_{3}\alpha ^{3}+P_{4}\alpha ^{4}} +\ldots ,$

et l’on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \,&=x^{m},\\\mathrm {P} _{1}&={\frac {my\mathrm {P} }{x}},\\\mathrm {P} _{2}&={\frac {(m-1)y\mathrm {P} _{1}+2mz\mathrm {P} }{2x}},\\\mathrm {P} _{3}&={\frac {(m-2)y\mathrm {P} _{2}+(2m-1)z\mathrm {P} _{1}}{3x}},\\\mathrm {P} _{4}&={\frac {(m-3)y\mathrm {P} _{3}+(2m-2)z\mathrm {P} _{2}}{4x}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

c’est ce qui se démontre facilement par le Calcul différentiel.