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Maintenant on aura, à cause que $\alpha$ est une des racines de l’équation

$s^{3}-as^{2}+bs-c=0,$

on aura, dis-je,

$\alpha ^{3}-a\alpha ^{2}+b\alpha -c=0,\quad {\text{d’où}}\quad \alpha ^{3}=a\alpha ^{2}-b\alpha +c\,;$

donc

${\begin{aligned}\alpha ^{4}=&a\alpha ^{3}-b\alpha ^{2}+c\alpha =\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{2}-(ab-c)\alpha +ac,\\\alpha ^{5}=&\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{3}-(ab-c)\alpha ^{2}+ac\alpha \\=&\left(a^{3}-2ab+c\right)\alpha ^{2}-\left(a^{2}b-b^{2}-ac\right)\alpha +\left(a^{2}-b\right)c,\end{aligned}}$

et ainsi de suile.

De sorte que, si l’on fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}&=0,\\\mathrm {A} _{2}&=1,\\\mathrm {A} _{3}&=a,\\\mathrm {A} _{4}&=a\mathrm {A} _{3}-b\mathrm {A} _{2}+c\mathrm {A} _{1},\\\mathrm {A} _{5}&=a\mathrm {A} _{4}-b\mathrm {A} _{3}+c\mathrm {A} _{2},\\\mathrm {A} _{6}&=a\mathrm {A} _{5}-b\mathrm {A} _{4}+c\mathrm {A} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\\\mathrm {B} _{1}&=1,\\\mathrm {B} _{2}&=0,\\\mathrm {B} _{3}&=b,\\\mathrm {B} _{4}&=a\mathrm {B} _{3}-b\mathrm {B} _{2}+c\mathrm {B} _{1},\\\mathrm {B} _{5}&=a\mathrm {B} _{4}-b\mathrm {B} _{3}+c\mathrm {B} _{2},\\\mathrm {B} _{6}&=a\mathrm {B} _{5}-b\mathrm {B} _{4}+c\mathrm {B} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\\\mathrm {C} _{1}&=0,\\\mathrm {C} _{2}&=0,\\\mathrm {C} _{3}&=c,\\\mathrm {C} _{4}&=a\mathrm {C} _{3}-b\mathrm {C} _{2}+c\mathrm {C} _{1},\\\mathrm {C} _{5}&=a\mathrm {C} _{4}-b\mathrm {C} _{3}+c\mathrm {C} _{2},\\\mathrm {C} _{6}&=a\mathrm {C} _{5}-b\mathrm {C} _{4}+c\mathrm {C} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$