d’où l’on voit que, par ces sortes de transformations, on peutquelquefois simplifier une fraction continue et la réduire à un moindre nombre de termes ; ce qui aura lieu toutes les fois qu’il y aura des dénominateurs égaux à l’unité positive ou négative.
En général il est clair que, pour avoir la fraction continue la plus convergente qu’il est possible vers la valeur de la quantité donnée, il faut toujours prendre pour les nombres entiers qui approchent le plus des quantités soit qu’ils soient plus petits ou plus grands que ces quantités ; or il est facile de voir que si, par exemple, on ne prend pas pour le nombre entier qui approche le plus, soit en excès ou en défaut, de le nombre suivant sera nécessairement égal à l’unité ; en effet la différence entre et sera alors plus grande que par conséquent on aura donc ne pourra être qu’égal à l’unité.
Ainsi, toutes les fois que dans une fraction continue on trouvera des dénominateurs égaux à l’unité, ce sera une marque que l’on n’a pas pris les dénominateurs précédents aussi approchants qu’il est possible, et que, par conséquent, la fraction peut se simplifier en augmentant ou en diminuant ces dénominateurs d’une unité, ce qu’on pourra exécuter par les formules précédentes, sans être obligé de refaire en entier le calcul.
8. La méthode du no 4 peut servir aussi à réduire en fraction continue toute quantité irrationnelle ou transcendante, pourvu qu’elle soit auparavant exprimée en décimales. Mais, comme la valeur en décimales ne peut être qu’approchée, et qu’en augmentant d’une unité le dernier caractère on a deux limites entre lesquelles doit se trouver la vraie valeur de la quantité proposée, il faudra, pour ne pas sortir de ces limites, faire à la fois le même calcul sur les deux fractions dont il s’agit, et n’admettre ensuite dans la fraction continue que les quotients qui résulteront également des deux opérations.
Soit, par exemple, proposé d’exprimer par une fraction continue le rapport de la circonférence du cercle au diamètre.
