On peut la regarder comme l’Arithmétique universelle, qui tient de près à l’Algèbre ; car si, au lieu de fixer les quantités que l’on considère, au lieu de les déterminer en nombres, on veut les considérer d’une manière générale, en les désignant par des lettres, on a l’Algèbre. Vous avez déjà vu ce que c’est qu’une fraction ; l’idée des fractions est un peu plus composée que celle des nombres entiers ; dans les nombres entiers, on ne considère qu’une quantité répétée pour avoir l’idée d’une fraction, il faut considérer la quantité même, divisée en un certain nombre de parties ; les fractions représentent en général des rapports, et servent à exprimer les différentes quantités les unes par les autres ; en général, tout ce qui se mesure ne peut être mesuré que par des fractions, à moins que la mesure ne soit contenue un nombre entier de fois dans la chose mesurée.
Vous avez vu comment une fraction peut être réduite à sa moindre expression.
Lorsque le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par un même nombre, on peut trouver ce plus grand commun diviseur par une méthode très-ingénieuse ; et qui nous vient d’Euclide cette méthode est très-simple et très-analytique, mais on peut la rendre encore plus sensible par la considération suivante. Supposez, par exemple, que vous ayez une longueur donnée, et que vous vouliez la mesurer ; vous avez donc une mesure donnée, et vous voulez savoir combien de mesures sont contenues dans cette longueur ; d’abord vous portez la mesure autant de fois que vous le pouvez sur la longueur donnée, et cela vous donne un nombre entier de mesures ; s’il n’y a pas de reste, l’opération est terminée ; mais s’il y a un reste, il faut encore évaluer le reste ; si la mesure est divisée en parties égales, par exemple en dix ou douze, etc., il est naturel de porter ce reste sur les différentes parties, et de voir combien il y a de ces parties qui sont comprises dans le reste ; alors vous avez, pour évaluer le reste, une fraction dont le numérateur est le nombre des parties contenues dans ce reste, et le dénominateur est le nombre total des parties dans lesquelles la mesure est divisée. Je suppose maintenant que votre mesure ne soit pas divisée, et que vous
