vouliez néanmoins savoir quel est le rapport de la longueur proposée à la longueur que vous avez prise pour mesure ; voici l’opération qui se présente le plus naturellement. Si vous avez un reste, comme il est moindre que la mesure, il est naturel que vous cherchiez combien de fois il y sera compris. Supposons deux fois, et qu’il y ait encore un reste ; reportez ce reste au reste précédent comme il est nécessairement plus petit, il s’y trouvera encore contenu un certain nombre de fois, comme trois fois, et il y aura un reste ou non, et ainsi de suite. Ayant tous ces différents restes, vous avez ce qu’on appelle une fraction continue ; par exemple, vous avez trouvé que la mesure était contenue trois fois dans la longueur proposée ; vous avez d’abord le nombre trois ; ensuite vous avez trouvé que le premier reste est contenu deux fois dans la mesure, vous aurez la fraction un divisé par deux ; mais ce dénominateur n’est pas complet, parce qu’il faudrait qu’il n’y eût pas de reste ; s’il y en a un, cela donne encore une autre fraction semblable à ajouter à ce dénominateur, laquelle sera un divisé par trois, parce que nous avons supposé que ce reste était contenu trois fois dans le reste précédent, et ainsi de suite. Vous aurez ainsi la fraction
(le signe usité dans l’Algèbre, signifie plus, et indique une addition à faire) pour exprimer le rapport entre la longueur et celle que vous avez prise pour mesure. Les fractions de cette forme s’appellent fractions continues, et peuvent être réduites en fractions ordinaires par les règles que vous connaissez. En effet, si l’on s’arrête d’abord à la première fraction, ce qui revient à ne tenir compte que du premier reste et à négliger le suivant, on a qui se réduit à Pour avoir égard au premier et au second reste seulement, on s’arrêtera à la seconde fraction, et l’on aura or donc on aura
