savoir et ainsi de suite. Si dans l’opération on parvient à un reste qui mesure exactement le reste précédent, elle est terminée ; et l’on aura, par le moyen de la fraction continue, une fraction ordinaire qui sera la valeur exacte de la longueur mesurée, exprimée par celle qui a servi de mesure. Si l’opération ne se termine pas ainsi, elle pourra aller à l’infini, et l’on n’aura que des fractions qui approcheront de plus en plus de la vraie valeur.
Si maintenant on rapproche ce procédé de celui qu’on suit lorsqu’on cherche le plus grand commun diviseur de deux nombres, on verra que c’est la même chose ; mais, dans la recherche du plus grand commun diviseur, on ne fait attention qu’aux différents restes, dont le dernier est ce même diviseur ; au lieu qu’en employant les quotients successifs, comme nous l’avons fait plus haut, on obtient des fractions qui approchent toujours de plus en plus de la fraction formée par les deux nombres donnés, et dont la dernière est cette même fraction déjà réduite à ses moindres termes.
Comme cette théorie des fractions continues est peu connue, et qu’elle est néanmoins d’une grande utilité pour résoudre des questions numériques importantes, je vais étendre encore un peu sur la formation et les propriétés de ces fractions. Et d’abord supposons que les quotients trouvés, soit par l’opération mécanique, soit par celle du plus grand commun diviseur, soient comme ci-dessus voici comment on peut, sans passer par la fraction continue, trouver tout de suite les différentes fractions qui en résultent.
Le premier quotient, étant supposé divisé par l’unité, donnera la première fraction, qui sera trop petite, savoir Ensuite, multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le second quotient et ajoutant l’unité au numérateur, on aura la seconde fraction, qui sera trop grande, et qui sera Multipliant de même le numérateur et le dénominateur de celle-ci par le troisième quotient, et ajoutant ensuite au numérateur celui de la fraction précédente, et au dénominateur celui de la fraction précédente, on aura la troisième fraction, qui sera trop petite ; ainsi, le troisième quotient étant on dira par
