donne et font et de même, par donne et font donc sera la fraction cherchée. On suivra le même procédé, et, puisque le quatrième quotient est on dira par fait et numérateur de la fraction précédente font de même, par fait et font donc la nouvelle fraction sera et ainsi de suite.
De cette manière, en employant les six quotients on aura les six fractions
dont la dernière, en supposant l’opération terminée par le sixième quotient sera la valeur cherchée de la longueur mesurée, ou bien sera la fraction même réduite à ses moindres termes.
Les fractions qui précèdent sont alternativement plus petites et plus grandes que cette valeur, et ont l’avantage d’en approcher de plus en plus, et de manière qu’aucune autre fraction ne pourrait en approcher autant, à moins d’avoir pour dénominateur un nombre plus grand que le produit du dénominateur de la fraction dont il s’agit, et de celui de la suivante. Par exemple, la fraction est plus petite que la vraie valeur qui est celle de la dernière fraction mais elle en approche plus que ne pourrait faire toute autre fraction, dont le dénominateur ne surpasserait pas le produit de par c’est-à-dire le nombre ce qui donne le moyen de réduire une fraction donnée, exprimée par de grands nombres, à des fractions exprimées en moindres nombres, et aussi approchées qu’il est possible.
La démonstration de ces propriétés se déduit de la nature de la fraction continue, et de ce que, si l’on cherche la différence d’une fraction à sa voisine, on trouve une fraction dont le numérateur est toujours l’unité, et le dénominateur est le produit des deux dénominateurs ; ce qui peut aussi se démontrer a priori par la loi de la formation de ces fractions. Ainsi la différence de à est par excès ; celle de à est par défaut ; celle de à est par excès, et ainsi de suite ; de sorte qu’en employant cette suite de différences, on peut encore ex-
