primer d’une manière fort simple les fractions dont il s’agit, par une suite d’autres fractions, dont les numérateurs soient tous l’unité, et les dénominateurs soient successivement les produits de deux dénominateurs voisins. Ainsi, si, pour plus de simplicité, on fait usage des signes qui signifient plus, moins, multiplié par, et indiquent une addition, ou soustraction, ou multiplication à faire, on aura, au lieu des fractions ci-dessus, la série
Le premier terme est, comme l’on voit, la première fraction, le premier et le second ensemble donneront la seconde fraction le premier, le second et le troisième donnent la troisième fraction et ainsi de suite ; de sorte que toute la série sera équivalente à la dernière fraction.
Il y a encore une autre manière moins connue, mais à quelques égards plus simple, de traiter les mêmes questions, et qui conduit directement à une série semblable à la précédente. En reprenant l’exemple ci-dessus, après avoir trouvé que la mesure entre trois fois dans la longueur mesurée, avec un nouveau reste, au lieu de rapporter ce second reste au précédent, comme on en a usé plus haut, on peut le rapporter de nouveau à la mesure même. Ainsi, supposant qu’il y entre sept fois avec un reste, on rapportera encore ce reste à la même mesure, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on parvienne, s’il est possible, à un reste qui soit une partie aliquote de la mesure, ce qui terminera l’opération autrement elle pourra aller à l’infini, si la longueur mesurée et la mesure sont incommensurables. On aura alors, pour l’expression de la longueur mesurée, la série
Il est clair que ce procédé peut s’appliquer de même à une fraction ordinaire, en retenant toujours le dénominateur de la fraction pour dividende, et prenant successivement les différents restes pour divi-
