Il est aisé de conclure de là que cette propriété du nombre a lieu dans notre système d’Arithmétique décimale, parce que est moins et que, dans tout autre système fondé sur la progression ce serait le nombre qui jouirait de la même propriété. Ainsi, dans le système duodécimal, ce serait le nombre de sorte que, dans ce système, tout nombre dont la somme des chiffres serait divisible par le serait aussi par ce nombre.
Mais on peut généraliser cette propriété du nombre par la considération suivante : comme tout nombre, dans notre système, est représenté par la somme de quelques termes de la progression multipliés chacun par un des neuf chiffres il est aisé de concevoirque le reste de la division d’un nombre quelconque par un diviseur donné sera égal à la somme des restes de la division des termes parle même diviseur, ces restes étant multipliés chacun par le chiffre correspondant qui multiplie chaque terme ; donc, si l’on dénote en général le diviseur donné par et que soient les restes de la division des nombres par le reste de la division d’un nombre quelconque dont les caractères, en allant de droite à gauche, seraient sera évidemment égal à
Ainsi, connaissant pour un diviseur donné les restes qui ne dépendent que de ce diviseur, et qui sont toujours les mêmes pour le même diviseur, il n’y aura qu’à écrire les restes au-dessous du nombre proposé, en allant de droite à gauche, et à faire ensuite les différents produits de chaque chiffre par celui qui est au-dessous. La somme de tous ces produits sera le reste total de la division du nombre proposé par le même diviseur Et, si cette somme est plus grande que on pourra en chercher de nouveau le reste de la division par et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un reste moindre que qui sera le véritable reste cherché d’où il s’ensuit que le nombre proposé ne sera exactement divisible par le diviseur donné qu’autant que le dernier reste trouvé de la sorte sera nul.
