Ainsi, divisant par on a de reste, donc le reste de la division de sera ou bien en retranchant le diviseur ensuite le reste de la division de sera le produit de par c’est-à-dire ou bien en retranchant encore de là le reste de la division de sera le produit de par savoir et ainsi de suite.
Prenons pour diviseur le reste de la division de est celui de la division de est d’où retranchant le diviseur on a le reste de la division de sera donc le carré de savoir celui de la division de sera multiplié par savoir et ainsi de suite ; de sorte que tous les restes seront
à l’infini.
De là résulte la propriété connue du nombre savoir que, si l’on ajoute et qu’on retranche alternativement tous les chiffres d’un nombre quelconque, c’est-à-dire qu’on prenne la somme du premier, du troisième, du cinquième, etc., et qu’on en retranche la somme du second, du quatrième, etc., on aura le reste de la division de ce nombre par
Cette théorie des restes est assez curieuse, et a donné lieu à des spéculations ingénieuses et difficiles. On peut démontrer, par exemple, que, quand le diviseur est un nombre premier, les restes d’une progression quelconque forment toujours des périodes qui reviennent les mêmes à l’infini, et qui commencent toutes comme la première par l’unité ; de sorte que, lorsque l’unité paraît parmi les restes, on peut les continuer à l’infini par la simple répétition des restes précédents. On démontre aussi que ces périodes ne peuvent jamais contenir qu’un nombre de termes égal au diviseur moins ou à une partie aliquote du diviseur moins mais on n’a pu encore déterminer a priori ce nombre pour un diviseur quelconque donné.
Quant à l’usage de cette manière de trouver le reste de la division d’un nombre par un diviseur donné, elle pourrait être très-utile, si l’on avait à diviser plusieurs nombres par un même nombre, et à former une Table des restes. Comme la division par et par est très-simple, on peut
