l’employer pour servir de preuve à la multiplication et à la division. En effet, ayant trouvé les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur, il n’y aura qu’à faire le produit de ces deux restes, et, retranchant, s’il est nécessaire, le diviseur une ou plusieurs fois, on aura le reste de la division du produit, qui devra par conséquent s’accorder avec celui qu’on trouverait par la même opération. De même, comme dans la division le dividende moins le reste doit être égal au produit du diviseur et du quotient, on pourra y employer la même épreuve.
La proposition que je viens de supposer, que le produit des restes de la division des deux nombres par un même diviseur est égal au reste de la division du produit de ces nombres par le même diviseur, est facile à concevoir. En voici une démonstration générale.
Soient et les deux nombres, le diviseur, et les quotients, et les deux restes ; il est clair qu’on aura
dont, faisant la multiplication,
où l’on voit que tous les termes sont divisibles par à l’exceplion du dernier d’où il s’ensuit que sera le reste de la division par on voit de plus que, si l’on retranche de un multiple quelconque de comme alors sera aussi le reste de la division de par car, en mettant la valeur de sous cette forme
on voit que tous les autres termes sont divisibles par
Ainsi l’on pourra toujours faire en sorte que le reste soit moindre que ou même moindre que en employant des restes négatifs.
Voilà tout ce que j’avais à dire sur la multiplication et la division. Je ne vous parle pas de l’extraction des racines ; la règle est assez simple
