Comme il y a trois inconnues dans cette question, on pourrait en prendre deux à volonté ; mais, si l’on veut qu’elles soient exprimées par des nombres positifs et entiers, on observera d’abord que les nombres
sont nécessairement positifs ; de sorte qu’en mettant l’équation sous cette forme
la question sera réduite à trouver deux multiples des nombres donnés
dont la différence soit égale à
Cette question est toujours résoluble en nombres entiers, quels que soient les nombres donnés dont on cherche les multiples, et quelle que soit la différence donnée de ces multiples. Comme elle est assez curieuse par elle-même et qu’elle peut être utile dans beaucoup d’occasions, nous allons en donner ici une solution générale déduite des propriétés des fractions continues.
Supposons donc en général que et soient deux nombres entiers donnés, et qu’on en cherche deux multiples dont la différence soit donnée et égale à on aura donc à satisfaire à l’équation
et étant supposés des nombres entiers. D’abord il est clair que, si et n’étaient pas premiers entre eux, il faudrait que le nombre fût aussi divisible par le plus grand commun diviseur de et et, la division faite, on aurait une pareille équation où les nombres et seraient premiers entre eux ; ainsi nous pouvons les supposer déjà réduits à cet état. J’observe maintenant que, si l’on connaissait la solution de cette équation pour le cas où le nombre serait égal à l’unité positive ou négative, on en pourrait déduire la solution pour une valeur quelconque de Supposons, en effet, qu’on connaisse deux multiples de et qui soient et dont la différence soit
