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$=\pm 1,$ il est clair qu’il n’y aura qu’à les multiplier tous les deux par le nombre $\mathrm {D} ,$ pour que la différence devienne égale à $\pm \mathrm {D} \,;$ car, en multipliant l’équation précédente par $\mathrm {D} ,$ on aura

$p\mathrm {DM} -q\mathrm {DN} =\pm \mathrm {D} \,;$

qu’on retranche maintenant cette équation de l’équation proposée

$x\mathrm {M} -z\mathrm {N} =\mathrm {D} ,$

ou qu’on l’y ajoute, suivant que le terme $\mathrm {D}$ aura le signe $+$ ou $-,$ il est clair qu’il viendra celle-ci

$(x\mp p\mathrm {D} )\mathrm {M} -(z\mp q\mathrm {D} )\mathrm {N} =0,$

laquelle donnera sur-le-champ, comme nous l’avons vu plus haut dans le cas de l’alliage de deux choses différentes,

$x\mp p\mathrm {D} =n\mathrm {N} ,\quad z\mp q\mathrm {D} =n\mathrm {M} ,$

$n$ étant un nombre quelconque ; de sorte que l’on aura généralement

$x=n\mathrm {N} \pm p\mathrm {D} \quad {\text{et}}\quad z=n\mathrm {M} \pm q\mathrm {D} ,$

où l’on pourra prendre un nombre quelconque entier, positif ou négatif, pour $n.$ Il ne reste donc plusqu’à trouver les nombres $p$ et $q,$ tels que l’on ait

$p\mathrm {M} -q\mathrm {N} =\pm 1\,;$

or cette question se résout facilement par les fractions continues ; car nous avons fait voir, en traitant de ces fractions, que, si l’on réduit la fraction $\mathrm {\frac {M}{N}}$ en fraction continue, qu’ensuite on en déduise toutes les fractions successives, dont la dernière sera la fraction même $\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ ces différentes fractions sont telles, que la différence entre deux fractions consécutives est toujours égale à une fraction dont le numérateur est l’unité, et le dénominateur le produit des deux dénominateurs ; ainsi,