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désignant par $\mathrm {\frac {K}{L}}$ la fraction qui précédera immédiatement la dernière fraction $\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ on aura nécessairement

$\mathrm {LM-KN} =1\quad {\text{ou}}\quad -1,$

suivant que celle-ci sera plus grande ou moindre que l’autre, c’est-à-dire, suivant que le quantième de la dernière fraction $\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ dans la suite de toutes les fractions successives, sera pair ou impair, puisque la première fraction de cette suite est toujours plus petite, la seconde plus grande, la troisième plus petite, etc. que la fraction primitive, qui est la même que la dernière ; ainsi l’on fera

$p=\mathrm {L} \quad {\text{et}}\quad q=\mathrm {K} ,$

et le problème des deux multiples sera résolu dans toute sa généralité.

Maintenant il est clair que, pour appliquer cette solution à la question ci-dessus concernant l’alliage, il n’y aura qu’à faire

$\mathrm {M} =a-m,\quad \mathrm {N} =m-c,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {D} =(m-b)y\,;$

de sorte que le nombre $y$ demeurera indéterminé, et pourra être pris à volonté, ainsi que le nombre $n$ qui entre dans les expressions de $x$ et $z.$

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LEÇON TROISIÈME.

sur l’algèbre, où l’on donne la résolution des équations
du troisième et du quatrième degré.

L’Algèbre est une science presque entièrement due aux modernes. Je dis presque entièrement, car il nous reste un ouvrage grec, celui de Diophante, qui vivait dans le III^e siècle de l’ère chrétienne cet Ouvrage est le seul que nous devions aux anciens dans ce genre. Quand je parle des anciens, je n’entends que les Grecs ; car les Romains ne nous ont