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de voir qu’elle exige que les trois valeurs correspondantes de $z$ soient

${\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }},\quad n{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }},\quad m{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}\,;$

d’où résultent, pour la valeur de $x,$ qui est $=y+z,$ les mêmes trois valeurs que nous avons trouvées.

Pour la forme de ces valeurs, il est visible d’abord qu’il ne peut y en avoir qu’une de réelle, tant que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront des quantités réelles, puisque $m$ et $n$ sont des quantités imaginaires. Elles ne pourront donc être toutes les trois réelles que dans le cas où les racines $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ de la réduite seront imaginaires, c’est-à-dire lorsque la quantité

${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}},$

qui se trouve sous le signe radical, sera négative, ce qui n’a lieu que lorsque $p$ est négatif et plus grand que

$3{\sqrt[{3}]{\frac {q^{2}}{4}}}\,;$

c’est le cas qu’on appelle irréductible.

Puisque dans ce cas

${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$

est une quantité négative, supposons-la égale à $-g^{2},$ $g$ étant une quantité quelconque réelle, et faisant, pour plus de simplicité,

$-{\frac {q}{2}}=f,$

les deux racines $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ de la réduite prendront cette forme

$\mathrm {A} =f+g{\sqrt {-1}},\quad \mathrm {B} =f-g{\sqrt {-1}}.$

Or je dis que si ${\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }},$ qui est une des racines de l’équation du troisième degré, est réelle, les deux autres racines, exprimées par

$m{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+n{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}\quad {\text{et}}\quad n{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+m{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }},$