et, tirant la racine carrée,
donc
![{\displaystyle t={\frac {h+k{\sqrt {-1}}}{2}}={\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }},\quad u={\frac {h-k{\sqrt {-1}}}{2}}={\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668f5f16f5e9485f718a78180360c7e14fd3619b)
Telle sera donc nécessairement la forme des deux radicaux cubes
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{f+g{\sqrt {-1}}}}\quad {\text{et}}\quad {\sqrt[{3}]{f-g{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1dc59dd33f99f7cbfc8e21361477b0d888d734)
forme à laquelle on parvient directement, en réduisant ces radicaux en série par le théorème de Newton, comme vous l’avez déjà vu dans les leçons du Cours principal. Mais, comme les démonstrations par les séries peuvent laisser quelques nuages dans l’esprit, j’ai voulu en rendre la précédente tout à fait indépendante.
Si donc
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e4e491288d31d83d63026f6d62eeb3b1469963)
on aura
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}={\frac {h+k{\sqrt {-1}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}={\frac {h-k{\sqrt {-1}}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f013c2574cefc7b3c468aa28aaad65891a23fc)
or on a trouvé plus haut
donc, multipliant ces quantités ensemble, on aura
![{\displaystyle m{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+n{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}={\frac {-h+k{\sqrt {3}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c89159bd5959f001d7b28044b24e7b5ec99ac4e)
et
![{\displaystyle n{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+m{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}={\frac {-h-k{\sqrt {3}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15fce5a32febd42e5bdfa996312771fe7dc60b3e)
quantités réelles. Ainsi donc, si la racine 
est réelle, les deux autres le seront aussi naturellementdans le cas irréductible, et ne pourront l’étre que dans ce cas, comme nous l’avons vu ci-dessus.
