Mais la difficulté est toujours de démontrer directement que
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{f+g{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{f-g{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd28574473bcff47a6eef62abb5ab2ca395c35b9)
que nous avons supposé est toujours une quantité réelle, quelles que soient les valeurs de et On y peut parvenir dans des cas particuliers, en extrayant la racine cubique, lorsque cette extraction peut se faire exactement. Par exemple, si on trouvera que la raracinecubique de sera et de même celle de sera de sorte que la somme des deux radicaux sera égale à On peut faire ainsi une infinité d’exemples, et c’est de cette manière que Bombelli s’est convaincu de la réalité de l’expression imaginaire de la formule du cas irréductible ; mais, cette extraction n’étant possible en général que par les séries, on ne peut parvenir de cette manière à une démonstration générale et directe de la proposition dont il s’agit.
Il n’en est pas de même des radicaux carrés et de tous ceux dont l’exposant est une puissance de En eflet, si l’on a la quantité
composée de deux radicaux imaginaires, son carré sera
quantité nécessairement positive ; donc, extrayant la même racine carrée, on aura
pour la valeur réelle de la quantité proposée. Mais, si, au lieu de la somme, on avait la différence des mêmes radicaux, alors son carré serait
quantité nécessairement négative ; et, tirant la racine carrée, on aurait l’expression imaginaire simple
