Si l’on avait la quantité
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{f+g{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{4}]{f-g{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7150d02f20d6fb7161fa908da06e8260e453cc3e)
on l’élèverait d’abord au carré, ce qui donnerait
![{\displaystyle {\sqrt {f+g{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt {f-g{\sqrt {-1}}}}+2{\sqrt[{4}]{f^{2}+g^{2}}}={\sqrt {2f+2{\sqrt {f^{2}+g^{2}}}}}+2{\sqrt[{4}]{f^{2}+g^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8c3eb75d11896f372335cc8c8495b35aa91bd6)
quantité réelle et positive ; on aura donc aussi, en extrayant la racine carrée, une valeur réelle pour la quantité proposée, et ainsi de suite ; mais, si l’on voulait appliquer cette méthode aux radicaux cubiques, on retomberait dans une équation du troisième degré, dans le cas irréductible.
Soit, en effet,
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{f+g{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{f-g{\sqrt {-1}}}}=x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dca29ae77fdc8e1566258f6b2917d44f919f3d8)
en élevant d’abord au cube, on aura
![{\displaystyle 2f+3{\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}\left({\sqrt[{3}]{f+g{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{f-g{\sqrt {-1}}}}\right)=x^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd287d842725b1074095f533f74a9ebc0cb4e15)
savoir,
![{\displaystyle 2f+3x{\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}=x^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19cd0e0f9c67b48325fe03af9003925989f0f98)
ou bien
![{\displaystyle x^{3}-3x{\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}-2f=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11e1471610d9879d25865a499df0fe58517c773)
formule générale du cas irréductible, puisque
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}(2f)^{2}+{\frac {1}{27}}\left(-3{\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}\right)^{2}=-g^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04abfce4adf16d5fee42c305268dec512ed8725c)
Si 
on aura ![{\displaystyle x=2{\sqrt[{3}]{f}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d7c8d8cd95727240a97e829241a7c8d58d5580)
il faudrait donc prouver que, 
ayant une valeur quelconque, 
aura aussi une valeur correspondante réelle. Or l’équation précédente donne
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}={\frac {x^{3}-2f}{3x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924045a41d5995e65a1c0097649318f249861838)
et, élevant au cube,
