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d’imaginaires. Elles ont de plus l’avantage de pouvoir servir aux e on structions géométriques, comme on le verra dans la théorie-des sections angulaires, de sorte qu’elles peuvent toujours être représentées exactement par des lignes ; et, quant à leur valeur numérique, ari pourra toujours la trouver à très-peu près, et aussi exactement qu’on voudra, par la résolution approchée de l’équation d’où elles dépendent, ou bien par les Tables trigonométriques connues. En effet, on démontre en Géométrie que, si dans un cercle dont le rayon est $r$ on prend un arc dont la corde soit $c,$ et qu’on nomme $x$ la corde de l’arc qui sera le tiers de celui-là, on a, pour la détermination de $x,$ l’équation du troisième degré

$x^{3}-3r^{2}x+r^{2}c=0,$

équation qui tombe dans le cas irréductible, puisque $c$ est toùjôurs nécessairement moindre que $2r,$ et qui, à cause des deux arbitraires $r$ et $c,$ peut représenter toutes les équations de ce genre ; car, en la comparant avec l’équation générale

$x^{3}+px+q=0,$

on aura

$r={\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\quad {\text{et}}\quad c=-{\frac {3q}{p}}\,;$

de sorte qu’on aura tout de suite, par la trisection de l’arc qui répond à la corde $c$ dans un cercle de rayon $r,$ la valeur d’une racine $x,$ qui sera la corde de la troisième partie de cet arc. Or, par la nature du cercle, une même corde $c$ répond non-seulement à l’arc $s,$ mais encore (en nommant la circonférence entière $u$) aux arcs

$u-s,\quad 2u+s,\quad 3u-s,\quad \ldots \,;$

les arcs

$u+s,\quad 2u-s,\quad 3u+s,\quad \ldots$

ont aussi la même corde, mais prise négativement, parce que les cordes, au bout d’une circonférence, deviennent zéro, et ensuite négatives, et ne redeviennent positives qu’au bout de deux circonférennes, etc., comme vous pouvez le voir aisément. Donc les valeurs