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De plus, la première, étant élevée au carré, donne

$y^{2}z^{2}t^{2}={\frac {q^{2}}{64}}.$

Donc, par la théorie générale de la formation des équations, les trois quantités $y^{2},z^{2},t^{2}$ seront les racines d’une équation du troisième degré de la forme

$u^{3}+{\frac {p}{2}}u^{2}+\left({\frac {p^{2}}{16}}-{\frac {r}{4}}\right)u-{\frac {q^{2}}{64}}=0\,;$

de sorte que, si l’on nomme $a,b,c$ les trois racines de cette équation, que nous nommerons la réduite, on aura

$y={\sqrt {a}},\quad z={\sqrt {b}},\quad t={\sqrt {c}},$

et la valeur de $x$ sera exprimée par

${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.$

Comme les trois radicaux peuvent être pris chacun avec le signe $+$ ou $-,$ on aurait, en faisant toutes les combinaisons possibles, huit valeurs différentes de $x\,;$ mais il faut observer que, dans l’analyse précédente, nous avons employé l’équation $y^{2}z^{2}t^{2}={\frac {q^{2}}{64}},$ tandis que l’équation donnée immédiatement est $yzt=-{\frac {q}{8}}\,;$ ainsi il faudra que le produit des trois quantités $y,z,t,$ c’est-à-dire, des trois radicaux

${\sqrt {a}},\quad {\sqrt {b}},\quad {\sqrt {c}},$

soit de signe contraire à celui de la quantité $q.$ D’où il suit : 1^o que, $q$ étant une quantité négative, il devra y avoir dans l’expression de $x$ ou trois radicaux positifs, ou un positif et deux négatifs. On n’aura donc que ces quatre combinaisons

${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}},\quad {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}},\quad -{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}},\quad {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}},$

qui seront, par conséquent, les quatre racines de la proposée du quatrième degré ; 2^o si $q$ est une quantité positive, alors il devra y avoir