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dans l’expression de $x$ ou trois radicaux négatifs, ou un négatif et deux positifs, ce qui donnera ces quatre autres combinaisons

$-{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}},\quad -{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}},\quad {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}},\quad {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}},$

qui seront les quatre racines de la proposée^[1].

Maintenant, si les trois racines $a,b,c$ de la réduite du troisième degré sont toutes réelles et positives, il est visible que les quatre racines précédentes seront toutes réelles aussi ; mais, si parmi les trois racines réelles $a,b,c$ il y en a de négatives, les quatre racines de la proposée seront évidemment imaginaires. Ainsi, outre la condition de la réalité des trois racines de la réduite, il faudra encore, pour le premier cas, suivant la règle de Descartes que vous connaissez, que les coefficients des termes de cette réduite soient alternativement positifs et négatifs, et que, par conséquent, on ait $p$ négatif et ${\frac {p^{2}}{16}}-{\frac {r}{4}}$ positif, savoir, $p^{2}>4r.$ Si l’une de ces conditions manque, la proposée du quatrième degré ne pourra pas avoir ses quatre racines réelles. Si la réduite n’a au contraire qu’une seule racine réelle, on observera d’abord qu’à cause du dernier terme négatif de cette réduite la racine réelle sera nécessairement positive ensuite il est aisé de voir, par les expressions générales que nous avons données des racines de l’équation du troisième degré privée de son second terme, forme à laquelle il est aisé de ramener la réduite en $u,$

1. Ces formules simples et élégantes sont dues à Euler ; mais M. Bret, professeur de Mathématiques à Grenoble, a fait l’observation importante (voyez la Correspondance sur l’École Polytechnique, t. II, III^e Cahier, p. 217) qu’elles peuvent donner des valeurs fausses, lorsque parmi les trois radicaux il y en a d’imaginaires.

   Pour éviter toute difficulté et toute ambiguïté, il n’y a qu’à substituer à l’un de ces radicaux sa valeur tirée de l’équation ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}{\sqrt {c}}=-{\frac {q}{8}}.$ Ainsi la formule

   ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}-{\frac {q}{8{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}$

   donnera les quatre racines de la proposée, en prenant pour $a$ et $b$ deux quelconques des trois racines de la réduite, et prenant successivementles deux radicaux en plus et en moins.

   Il faut appliquer cette remarque à l’article 777 de l’Algèbre d’Euler, et à l’article 37 de la Note XIII du Traité de la résolution des équations numériques.