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en augmentant simplement toutes les racines de la quantité ${\frac {p}{6}}\,;$ il est aisé, dis-je, de voir que les deux racines imaginaires de cette réduite seront de la forme

$f+g{\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad f-g{\sqrt {-1}}.$

Donc, prenant $a$ pour la racine réelle, et $b,c$ pour les deux imaginaires, ${\sqrt {a}}$ sera une quantité réelle, et ${\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}$ sera réelle aussi, par ce que nous avons démontré plus haut, et au contraire ${\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}$ sera une quantité imaginaires d’où l’on peut conclure que, des quatre racines trouvées pour l’équation proposée du quatrième degré, les deux premières seront réelles et les deux autres imaginaires.

Au reste, si dans la réduite en $u$ on fait $u=s-{\frac {p}{6}}$ pour en faire disparaître le second terme et le ramener à la forme que nous avons examinée, on aura cette transformée en $s$

$s^{3}-\left({\frac {p^{2}}{48}}+{\frac {r}{4}}\right)s-{\frac {p^{3}}{864}}+{\frac {pr}{24}}-{\frac {q^{2}}{64}}=0\,;$

de sorte que la condition de la réalité des trois racines de la réduite sera

$4\left({\frac {p^{2}}{48}}+{\frac {r}{4}}\right)^{3}>27\left({\frac {p^{3}}{864}}-{\frac {pr}{24}}+{\frac {q^{2}}{64}}\right)^{2}.$

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LEÇON QUATRIÈME.

sur la résolution des équations numériques.

On a vu comment on peut résoudre les équations du second, du troisième et du quatrième degré ; le cinquième degré présente une espèce de barrière que les efforts des analystes n’ont pu encore forcer, et la résolution générale des équations est une des choses qui restent encore à désirer en Algèbre. Je dis en Algèbre, car si, dès le troisième degré, l’expression analytique des racines est insuffisante pour faire connaître