leur valeur numérique dans tous les cas, à plus forte raison le serait-elle dans les degrés supérieurs, et l’on serait toujours forcé d’avoir recours à d’autres moyens pour déterminer en nombres les valeurs des racines d’une équation donnée, ce qui est, en dernier résultat, l’objet de la solution de tous les problèmes que les besoins ou la curiosité offrent à résoudre.
Je me propose ici d’exposer les principaux moyens que l’on a imaginés pour remplir cet objet important. Considérons une équation quelconque du degré représentée par la formule
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dans laquelle soit l’inconnue, des coefficients connus positifs ou négatifs, et le dernier terme sans et connu aussi ; nous supposerons que les valeurs de ces coefficients soient données en nombres ou en lignes, ce qui revient au même ; car, en prenant une ligne donnée pour unité ou mesure commune de toutes les autres, on pourra les évaluer toutes en nombres. Il est clair que cette supposition a toujours lieu, lorsque l’équation est le résultat d’un problème réel et déterminé. Le but qu’on se propose est de trouver la valeur ou les valeurs de s’il y en a plusieurs, qui satisfont à cette équation, c’est-à-dire qui rendent la somme de tous ses termes nulle ; alors toutes les autres valeurs qu’on pourrait donner à rendront cette même somme égale à une quantité positive ou négative ; et, comme il n’entre dans l’équation que des puissances entières de il est clair que toute valeur réelle de donnera aussi pour la quantité dont il s’agit une valeur réelle. Plus cette valeur approchera d’être nulle, plus la valeur de qui l’aura produite, approchera d’être une racine de l’équation ; et, si l’on trouve deux valeurs de dont l’une rende la somme de tous les termes égale à une quantité positive, et l’autre à une quantité négative, on pourra être assuré d’avance qu’entre ces deux valeurs il y en aura au moins nécessairement une qui la rendra égale à zéro, et qui sera par conséquent une racine de l’équation.
En effet, désignons en général par la somme de tous les termes de
